Um fio A tem resistência elétrica
. Um segundo fio B , feito de mesmo material, com metade do diâmetro do primeiro, é usado para construir uma bobina de 250 espiras enroladas em uma única camada na forma de um cilindro de raio igual ao comprimento do fio A . Mostre que a resistência elétrica
do fio B é expressa por
.
Passo 1
Então, você tem um fio A com resistência elétrica
e um fio B, feito do mesmo material, mas com metade do diâmetro do fio A. O fio B é usado para fazer uma bobina com 250 espiras, todas na mesma camada, formando um cilindro cujo raio é igual ao comprimento do fio A. A gente precisa mostrar que a resistência elétrica
do fio B é
. Vamos usar conceitos de resistência elétrica e geometria dos fios para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a resistência elétrica de um fio é dada pela fórmula:
onde:
-
é a resistência, -
é a resistividade do material, -
é o comprimento do fio, -
é a área da seção transversal do fio.
Passo 3
Como os fios A e B são feitos do mesmo material, a resistividade
é a mesma para ambos. Então, podemos comparar as resistências das duas maneiras.
Passo 4
Vamos analisar o fio A primeiro. A resistência dele é:
onde
é o comprimento do fio A e
é a área da seção transversal do fio A.
Passo 5
Agora, vamos para o fio B. O diâmetro do fio B é metade do diâmetro do fio A. A área da seção transversal depende do diâmetro, e como
, se o diâmetro é metade, a área será:
Passo 6
Precisamos calcular o comprimento total do fio B,
. A bobina tem 250 espiras e cada espira é um círculo com raio igual ao comprimento do fio A,
. O comprimento de uma espira (circunferência) é:
Então, o comprimento total do fio B é:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da resistência para o fio B:
Substituindo
e
:
Passo 8
Observamos que
é exatamente
. Portanto:
Resposta
A resistência elétrica do fio B é
.