Um fio A tem resistência elétrica RA. Um segundo fio B , feito de mesmo material, com metade do diâmetro do primeiro, é usado para construir uma bobina de 250 espiras enroladas em uma única camada na forma de um cilindro de raio igual ao comprimento do fio A . Mostre que a resistência elétrica RB do fio B é expressa por RB=2000 pi RA.

Passo 1

Então, você tem um fio A com resistência elétrica e um fio B, feito do mesmo material, mas com metade do diâmetro do fio A. O fio B é usado para fazer uma bobina com 250 espiras, todas na mesma camada, formando um cilindro cujo raio é igual ao comprimento do fio A. A gente precisa mostrar que a resistência elétrica do fio B é . Vamos usar conceitos de resistência elétrica e geometria dos fios para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a resistência elétrica de um fio é dada pela fórmula:
R = rho LA
onde:
  • é a resistência,
  • é a resistividade do material,
  • é o comprimento do fio,
  • é a área da seção transversal do fio.

Passo 3

Como os fios A e B são feitos do mesmo material, a resistividade é a mesma para ambos. Então, podemos comparar as resistências das duas maneiras.

Passo 4

Vamos analisar o fio A primeiro. A resistência dele é:
RA = rho LAAA
onde é o comprimento do fio A e é a área da seção transversal do fio A.

Passo 5

Agora, vamos para o fio B. O diâmetro do fio B é metade do diâmetro do fio A. A área da seção transversal depende do diâmetro, e como AB = AA4 , se o diâmetro é metade, a área será:

Passo 6

Precisamos calcular o comprimento total do fio B, C = 2pi LA . A bobina tem 250 espiras e cada espira é um círculo com raio igual ao comprimento do fio A, LB = 250 times 2pi LA = 500pi LA . O comprimento de uma espira (circunferência) é:
Então, o comprimento total do fio B é:

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da resistência para o fio B:
RB = rho LBAB
Substituindo RB = rho 500pi LAAA4 = rho 500pi LA times 4AA = 2000pi ( rho LAAA ) e :

Passo 8

Observamos que RB = 2000pi RA é exatamente . Portanto:

Resposta

A resistência elétrica do fio B é .

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