Considere uma esfera maciça não condutora de raio , com densidade volumétrica de carga , onde é a distância radial até o centro da esfera, e é uma constante. Utilizando a lei de Gauss, calcule o campo elétrico no interior da esfera em função de , , e .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera não condutora com raio e uma densidade de carga que varia com a distância ao centro da esfera: . A gente precisa descobrir qual é o campo elétrico dentro dessa esfera usando a Lei de Gauss. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em uma situação com simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a Lei de Gauss. Ela estabelece que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante :
Aqui, é o campo elétrico e é a carga total dentro da superfície gaussiana.

Passo 3

Como a distribuição de carga é simétrica e depende apenas da distância ao centro, podemos escolher uma superfície gaussiana esférica com raio dentro da esfera. Devido à simetria, o campo elétrico vai ter a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e vai ser radial, ou seja, apontando para fora ou para dentro da esfera.

Passo 4

O fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana é:
Aqui, é a magnitude do campo elétrico no raio , e é a área da superfície esférica.

Passo 5

Agora, vamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. Sabemos que a densidade de carga é , então a carga total é:
Resolvendo a integral:

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss, temos:
Agora, isolamos :

Resposta

O campo elétrico no interior da esfera é:

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a) A velocidade média do satélite
Em janeiro de 2006 foi lançado um satélite com destino a Plutão, astro descoberto em 1930. Em junho de 2015 os primeiros sinais enviados por ondas de rádio começaram a chegar a Terra depois do satélite ter percorrido uma distância de 5 bilhões de quilômetros e estando próximo a superfície de Plutão. Sabendo que a velocidade da luz é de , que o perímetro da órbita de Plutão é e que a velocidade média de Plutão é de Determine:
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