Considere uma esfera maciça não condutora de raio
, com densidade volumétrica de carga
, onde
é a distância radial até o centro da esfera, e
é uma constante. Utilizando a lei de Gauss, calcule o campo elétrico no interior da esfera em função de
,
, e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera não condutora com raio
e uma densidade de carga que varia com a distância ao centro da esfera:
. A gente precisa descobrir qual é o campo elétrico dentro dessa esfera usando a Lei de Gauss. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em uma situação com simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz a Lei de Gauss. Ela estabelece que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante
:
Aqui,
é o campo elétrico e
é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Passo 3
Como a distribuição de carga é simétrica e depende apenas da distância
ao centro, podemos escolher uma superfície gaussiana esférica com raio
dentro da esfera. Devido à simetria, o campo elétrico
vai ter a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e vai ser radial, ou seja, apontando para fora ou para dentro da esfera.
Passo 4
O fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana é:
Aqui,
é a magnitude do campo elétrico no raio
, e
é a área da superfície esférica.
Passo 5
Agora, vamos calcular a carga total
dentro da superfície gaussiana. Sabemos que a densidade de carga é
, então a carga total é:
Resolvendo a integral:
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss, temos:
Agora, isolamos
:
Resposta
O campo elétrico no interior da esfera é: