Considere uma esfera maciça não condutora de raio R, com densidade volumétrica de carga rho(r)=b r^3, onde r é a distância radial até o centro da esfera, e b é uma constante. Utilizando a lei de Gauss, calcule o campo elétrico no interior da esfera em função de b, epsilon0, e r.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera não condutora com raio e uma densidade de carga que varia com a distância ao centro da esfera: . A gente precisa descobrir qual é o campo elétrico dentro dessa esfera usando a Lei de Gauss. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em uma situação com simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a Lei de Gauss. Ela estabelece que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante oint E cdot dA = Qintepsilon0 :
Aqui, é o campo elétrico e é a carga total dentro da superfície gaussiana.

Passo 3

Como a distribuição de carga é simétrica e depende apenas da distância ao centro, podemos escolher uma superfície gaussiana esférica com raio dentro da esfera. Devido à simetria, o campo elétrico vai ter a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e vai ser radial, ou seja, apontando para fora ou para dentro da esfera.

Passo 4

O fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana é:
oint E cdot dA = E(r) cdot 4pi r^2
Aqui, é a magnitude do campo elétrico no raio , e é a área da superfície esférica.

Passo 5

Agora, vamos calcular a carga total Qint = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' = integral0^r b r'^3 cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi b integral0^r r'^5 dr' dentro da superfície gaussiana. Sabemos que a densidade de carga é Qint = 4pi b cdot r^66 = 2pi b r^63 , então a carga total é:
Resolvendo a integral:

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss, temos:
E(r) cdot 4pi r^2 = 2pi b r^63 epsilon0
Agora, isolamos E(r) = 2pi b r^63 epsilon0 cdot 4pi r^2 = b r^46 epsilon0 :

Resposta

O campo elétrico no interior da esfera é:
E(r) = b r^46 epsilon0

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