Très planos infinitos, isolantes, uniformemente carregados, são paralelos ao plano yz e estão posicionados em
e
e
. As densidades de carga dos planos são
e
, respectivamente. Qual é o valor absoluto da diferença de potencial entre a origem e o ponto do eixo
?
CS
CS
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três planos infinitos, isolantes e uniformemente carregados, posicionados nos pontos
,
e
ao longo do eixo
. As densidades de carga desses planos são
,
e
, respectivamente. Precisamos encontrar a diferença de potencial elétrico entre a origem (
) e o ponto no eixo
em
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por planos infinitos carregados e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por um plano infinito carregado. A fórmula para o campo elétrico
de um plano infinito com densidade de carga superficial
é:
onde
é a permissividade do vácuo (
).
Esse campo é perpendicular ao plano e aponta para longe do plano se a carga for positiva e em direção ao plano se a carga for negativa.
Passo 3
Como temos três planos com diferentes densidades de carga, vamos calcular o campo elétrico total em cada região do espaço, considerando a superposição dos campos gerados por cada plano.
Vamos dividir o espaço ao longo do eixo
em diferentes regiões separadas pelos planos:
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico gerado por cada plano em cada região.
-
Plano em
( ): Comoé negativa, o campo aponta para dentro do plano. -
Plano em
( ): Comoé positiva, o campo aponta para fora do plano. -
Plano em
( ): Comoé positiva, o campo aponta para fora do plano.
Passo 5
Agora, vamos determinar a direção dos campos em cada região:
-
Para
: -
aponta para a esquerda (já que é negativo). -
e não afetam esta região diretamente.
-
-
Para
: -
aponta para a direita (em direção ao plano negativo). -
aponta para a direita (saindo do plano positivo). -
não afeta esta região.
-
-
Para
: -
aponta para a direita. -
aponta para a esquerda (retorno do plano positivo). -
aponta para a direita.
-
-
Para
: -
, e apontam para a direita.
-
Passo 6
Agora que temos o campo elétrico total em cada região, podemos calcular a diferença de potencial entre
e
.
Sabemos que a diferença de potencial
entre dois pontos é dada pela integral do campo elétrico ao longo do caminho:
Vamos dividir a integração nas diferentes regiões:
- De
a : - De
a : - De
a :
Passo 7
Calculando cada parte da integral:
-
De 0 a 20 cm:
-
De 20 cm a 40 cm:
-
De 40 cm a 80 cm:
Passo 8
Agora, somamos as diferenças de potencial de cada trecho para obter a diferença total entre
e
:
Resposta
O valor absoluto da diferença de potencial entre a origem e o ponto
é 0 V.