Très planos infinitos, isolantes, uniformemente carregados, são paralelos ao plano yz e estão posicionados em e e . As densidades de carga dos planos são e , respectivamente. Qual é o valor absoluto da diferença de potencial entre a origem e o ponto do eixo ?
CS

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três planos infinitos, isolantes e uniformemente carregados, posicionados nos pontos , e ao longo do eixo . As densidades de carga desses planos são , e , respectivamente. Precisamos encontrar a diferença de potencial elétrico entre a origem ( ) e o ponto no eixo em .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por planos infinitos carregados e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por um plano infinito carregado. A fórmula para o campo elétrico de um plano infinito com densidade de carga superficial é:
onde é a permissividade do vácuo ( ).
Esse campo é perpendicular ao plano e aponta para longe do plano se a carga for positiva e em direção ao plano se a carga for negativa.

Passo 3

Como temos três planos com diferentes densidades de carga, vamos calcular o campo elétrico total em cada região do espaço, considerando a superposição dos campos gerados por cada plano.
Vamos dividir o espaço ao longo do eixo em diferentes regiões separadas pelos planos:

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico gerado por cada plano em cada região.
  • Plano em ( ):
    Como é negativa, o campo aponta para dentro do plano.
  • Plano em ( ):
    Como é positiva, o campo aponta para fora do plano.
  • Plano em ( ):
    Como é positiva, o campo aponta para fora do plano.

Passo 5

Agora, vamos determinar a direção dos campos em cada região:
  1. Para :
    • aponta para a esquerda (já que é negativo).
    • e não afetam esta região diretamente.
  2. Para :
    • aponta para a direita (em direção ao plano negativo).
    • aponta para a direita (saindo do plano positivo).
    • não afeta esta região.
  3. Para :
    • aponta para a direita.
    • aponta para a esquerda (retorno do plano positivo).
    • aponta para a direita.
  4. Para :
    • , e apontam para a direita.

Passo 6

Agora que temos o campo elétrico total em cada região, podemos calcular a diferença de potencial entre e .
Sabemos que a diferença de potencial entre dois pontos é dada pela integral do campo elétrico ao longo do caminho:
Vamos dividir a integração nas diferentes regiões:
  1. De a :
  2. De a :
  3. De a :

Passo 7

Calculando cada parte da integral:
  1. De 0 a 20 cm:
  2. De 20 cm a 40 cm:
  3. De 40 cm a 80 cm:

Passo 8

Agora, somamos as diferenças de potencial de cada trecho para obter a diferença total entre e :

Resposta

O valor absoluto da diferença de potencial entre a origem e o ponto é 0 V.

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