Très planos infinitos, isolantes, uniformemente carregados, são paralelos ao plano yz e estão posicionados em x=-20 cm e x=20 cm e x=40 cm. As densidades de carga dos planos são -50 nC / m^2, 25 nC / m^2 e 50 nC / m^2, respectivamente. Qual é o valor absoluto da diferença de potencial entre a origem e o ponto do eixo x em x=80 cm ?
CS

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três planos infinitos, isolantes e uniformemente carregados, posicionados nos pontos , e ao longo do eixo . As densidades de carga desses planos são , e , respectivamente. Precisamos encontrar a diferença de potencial elétrico entre a origem ( ) e o ponto no eixo em .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por planos infinitos carregados e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por um plano infinito carregado. A fórmula para o campo elétrico E = sigma2varepsilon0 de um plano infinito com densidade de carga superficial é:
onde é a permissividade do vácuo ( ).
Esse campo é perpendicular ao plano e aponta para longe do plano se a carga for positiva e em direção ao plano se a carga for negativa.

Passo 3

Como temos três planos com diferentes densidades de carga, vamos calcular o campo elétrico total em cada região do espaço, considerando a superposição dos campos gerados por cada plano.
Vamos dividir o espaço ao longo do eixo em diferentes regiões separadas pelos planos:

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico gerado por cada plano em cada região.
  • Plano em E1 = sigma12varepsilon0 = -50 times 10^-92 times 8,85 times 10^-12 approx -2,82 times 10^3 , N/C ( E2 = sigma22varepsilon0 = 25 times 10^-92 times 8,85 times 10^-12 approx 1,41 times 10^3 , N/C ):
    E3 = sigma32varepsilon0 = 50 times 10^-92 times 8,85 times 10^-12 approx 2,82 times 10^3 , N/C
    Como é negativa, o campo aponta para dentro do plano.
  • Plano em ( ):
    Como é positiva, o campo aponta para fora do plano.
  • Plano em ( ):
    Como é positiva, o campo aponta para fora do plano.

Passo 5

Agora, vamos determinar a direção dos campos em cada região:
  1. Para Etotal = E1 = -2,82 times 10^3 , N/C :
    • Etotal = E1 + E2 = -2,82 times 10^3 + 1,41 times 10^3 = -1,41 times 10^3 , N/C aponta para a esquerda (já que é negativo).
    • Etotal = E1 - E2 + E3 = -2,82 times 10^3 - 1,41 times 10^3 + 2,82 times 10^3 = -1,41 times 10^3 , N/C e Etotal = E1 + E2 + E3 = -2,82 times 10^3 + 1,41 times 10^3 + 2,82 times 10^3 = 1,41 times 10^3 , N/C não afetam esta região diretamente.
  2. Para :
    • aponta para a direita (em direção ao plano negativo).
    • aponta para a direita (saindo do plano positivo).
    • não afeta esta região.
  3. Para :
    • aponta para a direita.
    • aponta para a esquerda (retorno do plano positivo).
    • aponta para a direita.
  4. Para :
    • , e apontam para a direita.

Passo 6

Agora que temos o campo elétrico total em cada região, podemos calcular a diferença de potencial entre De e .
Sabemos que a diferença de potencial entre dois pontos é dada pela integral do campo elétrico ao longo do caminho:
Vamos dividir a integração nas diferentes regiões:
  1. De a :
  2. De a :
  3. De a :

Passo 7

Calculando cada parte da integral:
  1. De 0 a 20 cm:
    De
  2. De 20 cm a 40 cm:
    De
  3. De 40 cm a 80 cm:
    De

Passo 8

Agora, somamos as diferenças de potencial de cada trecho para obter a diferença total entre De e :

Resposta

O valor absoluto da diferença de potencial entre a origem e o ponto é 0 V.

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