Considere uma esfera maciça de raio
com uma densidade de carga volumétrica que varia radialmente conforme:
. Calcule o campo elétrico em um ponto
localizado a uma distância
do centro da esfera utilizando a lei de Gauss na forma diferencial. Resposta:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma esfera maciça de raio
com uma densidade de carga que muda conforme a distância do centro, dada por
. Precisamos calcular o campo elétrico em um ponto
que está a uma distância
do centro dessa esfera usando a lei de Gauss na forma diferencial. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a lei de Gauss, densidade de carga e como aplicar essas ideias para encontrar o campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a lei de Gauss na forma diferencial. Ela é uma das equações de Maxwell e diz que:
Isso relaciona a divergência do campo elétrico
com a densidade de carga
. Aqui,
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Como queremos encontrar o campo elétrico
em um ponto a uma distância
do centro, vamos supor que o campo é radialmente simétrico. Isso significa que
só depende da distância
e aponta na direção radial. Então, podemos escrever
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a divergência de
em coordenadas esféricas. A divergência de um campo radialmente simétrico é:
Substituindo isso na lei de Gauss, temos:
Passo 5
Vamos multiplicar ambos os lados por
para simplificar:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
para encontrar
.
Passo 6
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Como estamos lidando com simetria em torno do centro, a constante de integração
é zero.
Passo 7
Então, temos:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
Portanto, o campo elétrico no ponto
a uma distância
do centro da esfera é: