Considere uma esfera maciça de raio com uma densidade de carga volumétrica que varia radialmente conforme: . Calcule o campo elétrico em um ponto localizado a uma distância do centro da esfera utilizando a lei de Gauss na forma diferencial. Resposta:

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma esfera maciça de raio com uma densidade de carga que muda conforme a distância do centro, dada por . Precisamos calcular o campo elétrico em um ponto que está a uma distância do centro dessa esfera usando a lei de Gauss na forma diferencial. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a lei de Gauss, densidade de carga e como aplicar essas ideias para encontrar o campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a lei de Gauss na forma diferencial. Ela é uma das equações de Maxwell e diz que:
Isso relaciona a divergência do campo elétrico com a densidade de carga . Aqui, é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como queremos encontrar o campo elétrico em um ponto a uma distância do centro, vamos supor que o campo é radialmente simétrico. Isso significa que só depende da distância e aponta na direção radial. Então, podemos escrever .

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência de em coordenadas esféricas. A divergência de um campo radialmente simétrico é:
Substituindo isso na lei de Gauss, temos:

Passo 5

Vamos multiplicar ambos os lados por para simplificar:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a para encontrar .

Passo 6

Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Como estamos lidando com simetria em torno do centro, a constante de integração é zero.

Passo 7

Então, temos:
Agora, vamos dividir ambos os lados por para isolar :

Resposta

Portanto, o campo elétrico no ponto a uma distância do centro da esfera é:

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