Considere uma esfera maciça de raio R com uma densidade de carga volumétrica que varia radialmente conforme: rho(r)=rho0(1-r / R). Calcule o campo elétrico em um ponto P localizado a uma distância r do centro da esfera utilizando a lei de Gauss na forma diferencial. Resposta: E(r)=rhoepsilon0(r3-r^24 R) r

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma esfera maciça de raio com uma densidade de carga que muda conforme a distância do centro, dada por . Precisamos calcular o campo elétrico em um ponto que está a uma distância do centro dessa esfera usando a lei de Gauss na forma diferencial. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a lei de Gauss, densidade de carga e como aplicar essas ideias para encontrar o campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a lei de Gauss na forma diferencial. Ela é uma das equações de Maxwell e diz que:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Isso relaciona a divergência do campo elétrico com a densidade de carga . Aqui, é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como queremos encontrar o campo elétrico em um ponto a uma distância do centro, vamos supor que o campo é radialmente simétrico. Isso significa que só depende da distância e aponta na direção radial. Então, podemos escrever .

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência de nabla cdot E = 1r^2 ddr(r^2 E(r)) em coordenadas esféricas. A divergência de um campo radialmente simétrico é:
1r^2 ddr(r^2 E(r)) = rho0 (1 - rR)varepsilon0
Substituindo isso na lei de Gauss, temos:

Passo 5

Vamos multiplicar ambos os lados por ddr(r^2 E(r)) = rho0varepsilon0 (r^2 - r^3R) para simplificar:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a para encontrar .

Passo 6

Integrando o lado esquerdo:
integral ddr(r^2 E(r)) dr = r^2 E(r) + C
E integrando o lado direito:
integral rho0varepsilon0 (r^2 - r^3R) dr = rho0varepsilon0 (r^33 - r^44R) + C
Como estamos lidando com simetria em torno do centro, a constante de integração é zero.

Passo 7

Então, temos:
r^2 E(r) = rho0varepsilon0 (r^33 - r^44R)
Agora, vamos dividir ambos os lados por E(r) = rho0varepsilon0 (r3 - r^24R) para isolar :

Resposta

Portanto, o campo elétrico no ponto E(r) = rho0varepsilon0 (r3 - r^24 R) r a uma distância do centro da esfera é:

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