Considere três corpos puntiformes de massa
e carga elétrica
penduradas no teto de um laboratório de Física. Cada um desses corpos está preso a um fio isolante e inextensível de comprimento
de modo que em uma das extremidades do fio está preso um determinado corpo corpo e a outra está fixa em um ponto
no teto do laboratório. Com o sistema em equilíbrio estático verifica-se que o ângulo entre dois dos fios é
. Determine o valor da carga q. Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três corpos pontuais, cada um com massa
e carga elétrica
, pendurados no teto usando fios de comprimento
. Eles estão em equilíbrio estático, ou seja, nada está se movendo. O ângulo entre dois dos fios é
. Nosso objetivo é encontrar o valor da carga
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças, principalmente as forças elétricas (pela carga
) e as forças gravitacionais (pela massa
). Também vamos utilizar a Lei de Coulomb e os conceitos de trigonometria para relacionar os ângulos e as forças.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando em cada corpo. Cada corpo tem três forças principais:
- Força gravitacional (
): Puxando o corpo para baixo, dada por , onde é a aceleração da gravidade. - Tensão no fio (
): Puxando o corpo para cima e para o lado, formando um ângulo com a vertical. - Força elétrica (
): Repulsão entre as cargas iguais, empurrando os corpos para longe uns dos outros.
Passo 3
Como o sistema está em equilíbrio estático, a soma das forças em cada direção (horizontal e vertical) deve ser igual a zero.
Na direção vertical:
A componente vertical da tensão deve equilibrar a força gravitacional.
A componente vertical da tensão
Na direção horizontal:
A componente horizontal da tensão deve equilibrar a força elétrica de repulsão.
A componente horizontal da tensão
Passo 4
Vamos expressar a força elétrica
usando a Lei de Coulomb:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo. -
é a distância entre as cargas.
No nosso caso, os corpos estão dispostos de forma que a distância
entre eles pode ser relacionada ao comprimento do fio
e ao ângulo
.
Passo 5
Podemos relacionar
com
e
usando trigonometria. Se considerarmos dois fios formarem um ângulo
entre si, a distância
entre os corpos é:
Para simplificar, vamos assumir que
é pequeno, então
, assim:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação da direção horizontal:
Mas de
da equação vertical, temos:
Substituindo na equação horizontal:
Passo 7
Simplificando a equação:
Isolando
:
Passo 8
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Considerando que para pequenos ângulos
, podemos simplificar para: