Considere três corpos puntiformes de massa m e carga elétrica q penduradas no teto de um laboratório de Física. Cada um desses corpos está preso a um fio isolante e inextensível de comprimento ell de modo que em uma das extremidades do fio está preso um determinado corpo corpo e a outra está fixa em um ponto P no teto do laboratório. Com o sistema em equilíbrio estático verifica-se que o ângulo entre dois dos fios é theta. Determine o valor da carga q. Resposta: q=ell sen(theta) raiz4 pi epsilon0 m g tan (theta)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três corpos pontuais, cada um com massa e carga elétrica , pendurados no teto usando fios de comprimento . Eles estão em equilíbrio estático, ou seja, nada está se movendo. O ângulo entre dois dos fios é . Nosso objetivo é encontrar o valor da carga .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças, principalmente as forças elétricas (pela carga ) e as forças gravitacionais (pela massa ). Também vamos utilizar a Lei de Coulomb e os conceitos de trigonometria para relacionar os ângulos e as forças.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando em cada corpo. Cada corpo tem três forças principais:
  1. Força gravitacional ( ): Puxando o corpo para baixo, dada por , onde é a aceleração da gravidade.
  2. Tensão no fio ( ): Puxando o corpo para cima e para o lado, formando um ângulo com a vertical.
  3. Força elétrica ( ): Repulsão entre as cargas iguais, empurrando os corpos para longe uns dos outros.

Passo 3

Como o sistema está em equilíbrio estático, a soma das forças em cada direção (horizontal e vertical) deve ser igual a zero.
Na direção vertical:
A componente vertical da tensão T cdot cos(theta) = m cdot g deve equilibrar a força gravitacional.
T cdot sin(theta) = Fe
Na direção horizontal:
A componente horizontal da tensão deve equilibrar a força elétrica de repulsão.

Passo 4

Vamos expressar a força elétrica Fe = 14 pi epsilon0 cdot q^2r^2 usando a Lei de Coulomb:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo.
  • é a distância entre as cargas.
No nosso caso, os corpos estão dispostos de forma que a distância entre eles pode ser relacionada ao comprimento do fio e ao ângulo .

Passo 5

Podemos relacionar r = 2 ell cdot sin(theta2) com r approx ell cdot theta e usando trigonometria. Se considerarmos dois fios formarem um ângulo entre si, a distância entre os corpos é:
Para simplificar, vamos assumir que é pequeno, então , assim:

Passo 6

Agora, substituímos T cdot sin(theta) = 14 pi epsilon0 cdot q^2(ell cdot theta)^2 na equação da direção horizontal:
T = m cdot gcos(theta)
Mas de m cdot gcos(theta) cdot sin(theta) = 14 pi epsilon0 cdot q^2ell^2 cdot theta^2 da equação vertical, temos:
Substituindo na equação horizontal:

Passo 7

Simplificando a equação:
m cdot g cdot tan(theta) = q^24 pi epsilon0 cdot ell^2 cdot theta^2
Isolando q^2 = 4 pi epsilon0 cdot ell^2 cdot theta^2 cdot m cdot g cdot tan(theta) :

Passo 8

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar q = ell cdot theta cdot raiz4 pi epsilon0 cdot m cdot g cdot tan(theta) :
q = ell cdot sin(theta) cdot raiz4 pi epsilon0 cdot m cdot g cdot tan(theta)
Considerando que para pequenos ângulos , podemos simplificar para:

Resposta

q = ell cdot sin(theta) cdot raiz4 pi epsilon0 cdot m cdot g cdot tan(theta)

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