Considere uma esfera maciça de raio e carga total . Calcule o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo , para pontos internos e externos, utilizando a lei de Coulomb integral para os seguintes casos:
em que e são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com raio e carga total . A missão aqui é calcular o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo , tanto dentro quanto fora da esfera. Para isso, vamos usar a lei de Coulomb na forma de uma integral, considerando que a densidade de carga é dada por , onde é uma constante. Vamos precisar entender como a carga se distribui na esfera e aplicar as fórmulas de potencial e campo elétrico para diferentes regiões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de carga. A densidade de carga é , o que significa que a carga varia com a distância ao quadrado do centro. Para encontrar a constante , usamos a condição de que a carga total da esfera é . A carga total é a integral da densidade de carga sobre todo o volume da esfera:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico ao longo do eixo . Pelo princípio da superposição, o campo em um ponto no eixo devido a um elemento de carga localizado a uma distância do centro pode ser encontrado integrando as contribuições de todos os elementos da esfera.
Considerando simetria, o campo elétrico na direção radial se projeta ao longo do eixo . A contribuição do elemento de carga ao campo no ponto será:
Devido à simetria, a integração angular resulta em um fator , simplificando a expressão para:
Substituindo por :

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição , então , ou seja, . A integral se torna:
Aplicando os limites de 0 a :
Como é positivo (pois estamos no eixo ), simplificamos para:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do campo elétrico:

Passo 6

Agora, vamos calcular o potencial eletrostático . Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
Integrando a expressão que encontramos para :
Integrando termo a termo:
Considerando que o potencial tende a zero quando , a constante será zero.

Resposta

O potencial eletrostático ao longo do eixo é:
E o campo elétrico ao longo do eixo é:

Exercícios relacionados

Suponha que e sejam soluções da equação de onda: . Mostre que é uma solução da equação de onda, cujas soluções obedecem ao princípio da superposição.
A partir da discussão apresentada em sala determine a expressão do potencial na contribuição de octopolo
em que o tensor de octopolo é definido por
(Dica: aplique a expansão multipolar vista em sala para e considere os termos até ordem (ou ).)
Determine todas as componentes do tensor de quadrupolo elétrico para uma distribuição volumétrica de carga homogênea para um elipsóide que satisfaz . (Dica: considere as coordenadas tal que .)
Suponha que a dependência de em relação a e possa ser expressa como , onde e suas derivadas primeira e segunda são contínuas.
Mostre que: .