Considere uma esfera maciça de raio R e carga total Q. Calcule o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo z, para pontos internos e externos, utilizando a lei de Coulomb integral para os seguintes casos: rho=Br^2
em que A e B são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com raio R e carga total Q. A missão aqui é calcular o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo z, tanto dentro quanto fora da esfera. Para isso, vamos usar a lei de Coulomb na forma de uma integral, considerando que a densidade de carga é dada por rho = Br^2, onde B é uma constante. Vamos precisar entender como a carga se distribui na esfera e aplicar as fórmulas de potencial e campo elétrico para diferentes regiões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de carga. A densidade de carga é rho = Br^2, o que significa que a carga varia com a distância ao quadrado do centro. Para encontrar a constante B, usamos a condição de que a carga total da esfera é Q. A carga total Q é a integral da densidade de carga sobre todo o volume da esfera:
Q = integral0^R rho cdot 4pi r^2 dr = integral0^R Br^2 cdot 4pi r^2 dr = 4pi B integral0^R dr = 4pi B R
Resolvendo para B:
B = Q4pi R

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico E ao longo do eixo z. Pelo princípio da superposição, o campo em um ponto P no eixo z devido a um elemento de carga dq localizado a uma distância r do centro pode ser encontrado integrando as contribuições de todos os elementos da esfera.
Considerando simetria, o campo elétrico na direção radial se projeta ao longo do eixo z. A contribuição do elemento de carga dq ao campo no ponto P será:
dE = 14pivarepsilon0 cdot dq cdot z(z^2 + r^2)^3/2 cdot r dr dtheta
Devido à simetria, a integração angular resulta em um fator 2pi, simplificando a expressão para:
E(z) = 12varepsilon0 integral0^R B z(z^2 + r^2)^3/2 cdot r dr
Substituindo B por Q4pi R:
E(z) = Q z8pi varepsilon0 R integral0^R r(z^2 + r^2)^3/2 dr

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral r(z^2 + r^2)^3/2 dr
Fazendo a substituição u = z^2 + r^2, então du = 2r dr, ou seja, r dr = du2. A integral se torna:
12 integral u^-3/2 du = 12 cdot ( -2 u^-1/2 ) + C = -u^-1/2 + C = -1raizz^2 + r^2 + C
Aplicando os limites de 0 a R:
-1raizz^2 + R^2 + 1raizz^2 = 1|z| - 1raizz^2 + R^2
Como z é positivo (pois estamos no eixo z), simplificamos para:
1z - 1raizz^2 + R^2

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do campo elétrico:
E(z) = Q z8pi varepsilon0 R cdot ( 1z - 1raizz^2 + R^2 ) = Q8pi varepsilon0 R (1 - zraizz^2 + R^2 )

Passo 6

Agora, vamos calcular o potencial eletrostático V(z). Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
V(z) = -integral E(z) dz
Integrando a expressão que encontramos para E(z):
V(z) = -integral Q8pi varepsilon0 R (1 - zraizz^2 + R^2 ) dz
Integrando termo a termo:
V(z) = -Q8pi varepsilon0 R ( z - raizz^2 + R^2 ) + C
Considerando que o potencial tende a zero quando z infty, a constante C será zero.

Resposta

O potencial eletrostático ao longo do eixo z é:
V(z) = Q8pi varepsilon0 R ( raizz^2 + R^2 - z )
E o campo elétrico ao longo do eixo z é:
E(z) = Q8pi varepsilon0 R (1 - zraizz^2 + R^2 )

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