Considere uma esfera maciça de raio
e carga total
. Calcule o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo
, para pontos internos e externos, utilizando a lei de Coulomb integral para os seguintes casos:
em que
e
são constantes.
em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com raio
e carga total
. A missão aqui é calcular o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo
, tanto dentro quanto fora da esfera. Para isso, vamos usar a lei de Coulomb na forma de uma integral, considerando que a densidade de carga é dada por
, onde
é uma constante. Vamos precisar entender como a carga se distribui na esfera e aplicar as fórmulas de potencial e campo elétrico para diferentes regiões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de carga. A densidade de carga é
, o que significa que a carga varia com a distância ao quadrado do centro. Para encontrar a constante
, usamos a condição de que a carga total da esfera é
. A carga total
é a integral da densidade de carga sobre todo o volume da esfera:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico
ao longo do eixo
. Pelo princípio da superposição, o campo em um ponto
no eixo
devido a um elemento de carga
localizado a uma distância
do centro pode ser encontrado integrando as contribuições de todos os elementos da esfera.
Considerando simetria, o campo elétrico na direção radial se projeta ao longo do eixo
. A contribuição do elemento de carga
ao campo no ponto
será:
Devido à simetria, a integração angular resulta em um fator
, simplificando a expressão para:
Substituindo
por
:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. A integral se torna:
Aplicando os limites de 0 a
:
Como
é positivo (pois estamos no eixo
), simplificamos para:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão do campo elétrico:
Passo 6
Agora, vamos calcular o potencial eletrostático
. Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
Integrando a expressão que encontramos para
:
Integrando termo a termo:
Considerando que o potencial tende a zero quando
, a constante
será zero.
Resposta
O potencial eletrostático ao longo do eixo
é:
E o campo elétrico ao longo do eixo
é:
Exercícios relacionados
Suponha que
e
sejam soluções da equação de onda:
. Mostre que
é uma solução da equação de onda, cujas soluções obedecem ao princípio da superposição.
A partir da discussão apresentada em sala determine a expressão do potencial na contribuição de octopolo
em que o tensor de octopolo é definido por
(Dica: aplique a expansão multipolar vista em sala para
e considere os termos até ordem
(ou
).)
Determine todas as componentes do tensor de quadrupolo elétrico
para uma distribuição volumétrica de carga homogênea
para um elipsóide que satisfaz
. (Dica: considere as coordenadas
tal que
.)
Suponha que a dependência de
em relação a
e
possa ser expressa como
, onde
e suas derivadas primeira e segunda são contínuas.
Mostre que: .
Mostre que: