Suponha que
e
sejam soluções da equação de onda:
. Mostre que
é uma solução da equação de onda, cujas soluções obedecem ao princípio da superposição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a equação de onda, que é uma equação diferencial que descreve como as ondas se propagam. Aqui, temos duas soluções,
e
, dessa equação. Nosso objetivo é mostrar que, se a gente somar essas duas soluções, ou seja,
, essa nova função
também é uma solução da equação de onda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como elas se aplicam nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda que estamos trabalhando:
Isso significa que, para qualquer solução
, a segunda derivada em relação a
menos
vezes a segunda derivada em relação a
deve ser igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos considerar a soma das duas soluções:
. Nosso objetivo é verificar se essa soma também satisfaz a equação de onda.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Primeiro, a segunda derivada em relação a
:
Depois, a segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na equação de onda:
Passo 6
Podemos separar os termos:
Passo 7
Lembrando que
e
são soluções da equação de onda, temos:
Passo 8
Substituindo de volta, temos:
Ou seja,
Isso confirma que a soma
satisfaz a equação de onda.
Resposta
Portanto,
é uma solução da equação de onda, demonstrando que as soluções obedecem ao princípio da superposição.