Suponha que e sejam soluções da equação de onda: . Mostre que é uma solução da equação de onda, cujas soluções obedecem ao princípio da superposição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a equação de onda, que é uma equação diferencial que descreve como as ondas se propagam. Aqui, temos duas soluções, e , dessa equação. Nosso objetivo é mostrar que, se a gente somar essas duas soluções, ou seja, , essa nova função também é uma solução da equação de onda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como elas se aplicam nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda que estamos trabalhando:
Isso significa que, para qualquer solução , a segunda derivada em relação a menos vezes a segunda derivada em relação a deve ser igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos considerar a soma das duas soluções: . Nosso objetivo é verificar se essa soma também satisfaz a equação de onda.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Primeiro, a segunda derivada em relação a :
Depois, a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na equação de onda:

Passo 6

Podemos separar os termos:

Passo 7

Lembrando que e são soluções da equação de onda, temos:

Passo 8

Substituindo de volta, temos:
Ou seja,
Isso confirma que a soma satisfaz a equação de onda.

Resposta

Portanto, é uma solução da equação de onda, demonstrando que as soluções obedecem ao princípio da superposição.

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