Suponha que y1(x, t) e y2(x, t) sejam soluções da equação de onda: partial^2 ypartial x^2-1v^2 partial^2 ypartial t^2=0. Mostre que y(x, t)=y1(x, t)+y2(x, t) é uma solução da equação de onda, cujas soluções obedecem ao princípio da superposição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a equação de onda, que é uma equação diferencial que descreve como as ondas se propagam. Aqui, temos duas soluções, e , dessa equação. Nosso objetivo é mostrar que, se a gente somar essas duas soluções, ou seja, , essa nova função também é uma solução da equação de onda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como elas se aplicam nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda que estamos trabalhando:
partial^2 ypartial x^2 - 1v^2 partial^2 ypartial t^2 = 0
Isso significa que, para qualquer solução , a segunda derivada em relação a menos vezes a segunda derivada em relação a deve ser igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos considerar a soma das duas soluções: . Nosso objetivo é verificar se essa soma também satisfaz a equação de onda.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de partial^2 ypartial x^2 = partial^2 y1partial x^2 + partial^2 y2partial x^2 :
Primeiro, a segunda derivada em relação a partial^2 ypartial t^2 = partial^2 y1partial t^2 + partial^2 y2partial t^2 :
Depois, a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na equação de onda:
( partial^2 y1partial x^2 + partial^2 y2partial x^2 ) - 1v^2 ( partial^2 y1partial t^2 + partial^2 y2partial t^2 ) = 0

Passo 6

Podemos separar os termos:
( partial^2 y1partial x^2 - 1v^2 partial^2 y1partial t^2 ) + ( partial^2 y2partial x^2 - 1v^2 partial^2 y2partial t^2 ) = 0

Passo 7

Lembrando que partial^2 y1partial x^2 - 1v^2 partial^2 y1partial t^2 = 0 e partial^2 y2partial x^2 - 1v^2 partial^2 y2partial t^2 = 0 são soluções da equação de onda, temos:

Passo 8

Substituindo de volta, temos:
0 + 0 = 0
Ou seja,
0 = 0
Isso confirma que a soma satisfaz a equação de onda.

Resposta

Portanto, é uma solução da equação de onda, demonstrando que as soluções obedecem ao princípio da superposição.

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