Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos
. Para essa região, resolva:
a - Determine o elemento de área
na superfície superior
e especifique sua direção.
a - Determine o elemento de área
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o elemento de área
na superfície superior
de um paralelepípedo. Aqui, estamos lidando com Cálculo Vetorial, especificamente com elementos de área vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores normais às superfícies em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiramente, vamos visualizar o paralelepípedo. Ele é delimitado pelos planos
,
,
,
,
e
. A superfície superior está no plano
, que é paralela ao plano
.
Passo 3
O elemento de área vetorial
é definido como um vetor perpendicular à superfície considerado, com magnitude igual à área do elemento. No caso da superfície superior
, a normal é na direção positiva do eixo
.
Passo 4
Em coordenadas cartesianas, a direção positiva do eixo
é representada pelo vetor unitário
. Portanto, o elemento de área vetorial
na superfície superior pode ser expresso como:
Aqui,
e
representam infinitesimais nas direções
e
, respectivamente.
Resposta
O elemento de área vetorial na superfície superior é dado por:
Sua direção é positiva ao longo do eixo
.
Exercícios relacionados
(b) Agora assuma que
e
e
. Obtenha a posição em função do tempo sabendo que a partícula estava inicialmente em
.
Considere um ponto
representado em coordenadas esféricas por
, onde
e
.
b - Calcule a distância de até a origem usando as coordenadas cartesianas obtidas.
b - Calcule a distância de
Uma superfície cilíndrica é definida por
. Com base nessas informações, resolva:
b - Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície lateral do cilindro.
b - Calcule o fluxo do campo vetorial
Considere uma esfera de raio
centrada na origem. Para essa esfera, resolva:
a - Determine o elemento de área na superfície esférica e indique a sua direção.
a - Determine o elemento de área