Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos x=0, x=2 m, y=0, y=3 m, z=0 e z=1 m. Para essa região, resolva:
a - Determine o elemento de área d Az na superfície superior z=1 m e especifique sua direção.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o elemento de área na superfície superior de um paralelepípedo. Aqui, estamos lidando com Cálculo Vetorial, especificamente com elementos de área vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores normais às superfícies em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiramente, vamos visualizar o paralelepípedo. Ele é delimitado pelos planos , , , , e . A superfície superior está no plano , que é paralela ao plano .

Passo 3

O elemento de área vetorial é definido como um vetor perpendicular à superfície considerado, com magnitude igual à área do elemento. No caso da superfície superior , a normal é na direção positiva do eixo .

Passo 4

Em coordenadas cartesianas, a direção positiva do eixo dAz = z , dx , dy é representada pelo vetor unitário . Portanto, o elemento de área vetorial na superfície superior pode ser expresso como:
Aqui, e representam infinitesimais nas direções e , respectivamente.

Resposta

O elemento de área vetorial na superfície superior é dado por:
dAz = z , dx , dy
Sua direção é positiva ao longo do eixo .

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