Considere o espaço M2 x 3=[lllx & y & z t & r & s]: x, y, z, t, r, s R, de todas as matrizes reais de duas linhas e três colunas, e o conjunto H=[ccca & -b & c -a & b & -c]: a, b, c in R com as operações usuais. Verifique se H é subespaço de M2 x 3 ou não.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço M2 times 3, que é o conjunto de todas as matrizes reais com 2 linhas e 3 colunas. Dentro desse espaço, temos um conjunto específico H formado por matrizes do tipo:
H = a & -b & c -a & b & -c : a, b, c in R
A pergunta é: será que H é um subespaço de M2 times 3? Para descobrir isso, vamos precisar saber o que é um subespaço e quais são as condições que H deve satisfazer para ser considerado como tal.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que é um subespaço. Um conjunto H é um subespaço de um espaço vetorial V se ele satisfaz três condições fundamentais:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero (todas as entradas iguais a zero) deve estar em H.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes qualquer em H e somá-las, o resultado também deve estar em H.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar uma matriz em H e multiplicá-la por qualquer número real, o resultado também deve estar em H.
Vamos verificar essas três condições para o conjunto H dado.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em H:
O vetor zero no espaço M2 times 3 é a matriz onde todos os elementos são zero:
0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Para que essa matriz esteja em H, devemos encontrar valores de a, b, e c que satisfaçam:
a & -b & c -a & b & -c = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Isso nos dá o sistema de equações:
  • a = 0
  • -b = 0 Rightarrow b = 0
  • c = 0
  • -a = 0
  • b = 0
  • -c = 0
As soluções são a = 0, b = 0, e c = 0, o que confirma que a matriz zero pertence a H.

Passo 4

2. Verificando se H é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em H:
A = a1 & -b1 & c1 -a1 & b1 & -c1 , B = a2 & -b2 & c2 -a2 & b2 & -c2
Agora, somamos A e B:
A + B = a1 + a2 & -b1 - b2 & c1 + c2 -a1 - a2 & b1 + b2 & -c1 - c2
Queremos ver se essa soma também está em H. Para isso, devemos verificar se ela pode ser escrita na forma:
a & -b & c -a & b & -c
De fato, se definirmos a = a1 + a2, b = b1 + b2, e c = c1 + c2, então:
A + B = a & -b & c -a & b & -c
Portanto, a soma de duas matrizes em H também está em H, o que significa que H é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando se H é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em H:
A = a & -b & c -a & b & -c
E um escalar qualquer k in R. Multiplicamos A por k:
kA = ka & -kb & kc -ka & kb & -kc
Queremos verificar se kA também está em H. Observando a forma, vemos que podemos escrever kA como:
Como a' & -b' & c' -a' & b' & -c' , onde a' = ka, b' = kb, c' = kc , a', e b' também são números reais (já que c', a, b são reais e c é real), k pertence a kA.

Resposta

Como H contém a matriz zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que H é um subespaço de M2 times 3.

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