Considere o espaço , de todas as matrizes reais de duas linhas e três colunas, e o conjunto com as operações usuais. Verifique se é subespaço de ou não.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço , que é o conjunto de todas as matrizes reais com 2 linhas e 3 colunas. Dentro desse espaço, temos um conjunto específico formado por matrizes do tipo:
A pergunta é: será que é um subespaço de ? Para descobrir isso, vamos precisar saber o que é um subespaço e quais são as condições que deve satisfazer para ser considerado como tal.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que é um subespaço. Um conjunto é um subespaço de um espaço vetorial se ele satisfaz três condições fundamentais:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero (todas as entradas iguais a zero) deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes qualquer em e somá-las, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar uma matriz em e multiplicá-la por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar essas três condições para o conjunto dado.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em :
O vetor zero no espaço é a matriz onde todos os elementos são zero:
Para que essa matriz esteja em , devemos encontrar valores de , , e que satisfaçam:
Isso nos dá o sistema de equações:
As soluções são , , e , o que confirma que a matriz zero pertence a .

Passo 4

2. Verificando se é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em :
Agora, somamos e :
Queremos ver se essa soma também está em . Para isso, devemos verificar se ela pode ser escrita na forma:
De fato, se definirmos , , e , então:
Portanto, a soma de duas matrizes em também está em , o que significa que é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em :
E um escalar qualquer . Multiplicamos por :
Queremos verificar se também está em . Observando a forma, vemos que podemos escrever como:
Como , , e também são números reais (já que , , são reais e é real), pertence a .

Resposta

Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço de .

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Considere o espaço , de todas as sequências ordenadas com quatro números reais, e o conjunto com as operações usuais. Verifique se é subespaço de ou não.
Verdadeiro ou falso? Justique.
A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto de suas transpostas.
Sejam e bases ordenadas de .
© Seja tal que . Determine: e .
Dados os vetores e , determine em função de e as componentes dos vetores:
a)