Considere o espaço
, de todas as matrizes reais de duas linhas e três colunas, e o conjunto
com as operações usuais. Verifique se
é subespaço de
ou não.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço
, que é o conjunto de todas as matrizes reais com 2 linhas e 3 colunas. Dentro desse espaço, temos um conjunto específico
formado por matrizes do tipo:
A pergunta é: será que
é um subespaço de
? Para descobrir isso, vamos precisar saber o que é um subespaço e quais são as condições que
deve satisfazer para ser considerado como tal.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que é um subespaço. Um conjunto
é um subespaço de um espaço vetorial
se ele satisfaz três condições fundamentais:
- Contém o vetor zero: A matriz zero (todas as entradas iguais a zero) deve estar em
. - Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes qualquer em
e somá-las, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar uma matriz em
e multiplicá-la por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar essas três condições para o conjunto
dado.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero no espaço
é a matriz onde todos os elementos são zero:
Para que essa matriz esteja em
, devemos encontrar valores de
,
, e
que satisfaçam:
Isso nos dá o sistema de equações:
As soluções são
,
, e
, o que confirma que a matriz zero pertence a
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em
:
Agora, somamos
e
:
Queremos ver se essa soma também está em
. Para isso, devemos verificar se ela pode ser escrita na forma:
De fato, se definirmos
,
, e
, então:
Portanto, a soma de duas matrizes em
também está em
, o que significa que
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em
:
E um escalar qualquer
. Multiplicamos
por
:
Queremos verificar se
também está em
. Observando a forma, vemos que podemos escrever
como:
Como
,
, e
também são números reais (já que
,
,
são reais e
é real),
pertence a
.
Resposta
Como
contém a matriz zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Considere o espaço
, de todas as sequências ordenadas com quatro números reais, e o conjunto
com as operações usuais. Verifique se
é subespaço de
ou não.
Verdadeiro ou falso? Justique.
A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto de suas transpostas.
A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto de suas transpostas.
Sejam
e
bases ordenadas de
.
© Seja tal que
. Determine:
e
.
© Seja
Dados os vetores
e
, determine em função de
e
as componentes dos vetores:
a)
a)