Verdadeiro ou falso? Justique.
A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto de suas transpostas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas dessas matrizes. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente operações com matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é a transposta de uma matriz e como ela se comporta em produtos de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz , escrita como , é basicamente a matriz que você obtém ao trocar as linhas pelas colunas de . Por exemplo, se tem linhas e colunas, terá linhas e colunas.

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto de duas matrizes e . O produto só faz sentido se o número de colunas de for igual ao número de linhas de . A transposta desse produto, , vai ser uma matriz onde as linhas de viram colunas em .

Passo 4

A pergunta é se . Para verificar isso, vamos pensar em como multiplicamos matrizes e como a transposta afeta essa multiplicação. Na verdade, a propriedade correta é . Ou seja, ao transpor o produto, a ordem das matrizes se inverte.

Passo 5

Isso significa que dizer que está trocando a ordem das matrizes após a transposição, o que não está correto. Portanto, a afirmação dada no enunciado é falsa.

Resposta

Falso. A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem invertida, ou seja, .

Exercícios relacionados

Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dada uma base de V definamos por .
a) Provar que A é uma matriz simétrica.
b) Mostrar que se e , então o produto escalar em pode ser expresso na forma matricial seguinte: .
Dados os vetores e , calcular:
a)
b) .
Considere o espaço , de todas as sequências ordenadas com quatro números reais, e o conjunto com as operações usuais. Verifique se é subespaço de ou não.
Considere o espaço , de todas as matrizes reais de duas linhas e três colunas, e o conjunto com as operações usuais. Verifique se é subespaço de ou não.