Verdadeiro ou falso? Justique.
A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto de suas transpostas.
A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto de suas transpostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas dessas matrizes. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente operações com matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é a transposta de uma matriz e como ela se comporta em produtos de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz
, escrita como
, é basicamente a matriz que você obtém ao trocar as linhas pelas colunas de
. Por exemplo, se
tem
linhas e
colunas,
terá
linhas e
colunas.
Passo 3
Agora, vamos considerar o produto de duas matrizes
e
. O produto
só faz sentido se o número de colunas de
for igual ao número de linhas de
. A transposta desse produto,
, vai ser uma matriz onde as linhas de
viram colunas em
.
Passo 4
A pergunta é se
. Para verificar isso, vamos pensar em como multiplicamos matrizes e como a transposta afeta essa multiplicação. Na verdade, a propriedade correta é
. Ou seja, ao transpor o produto, a ordem das matrizes se inverte.
Passo 5
Isso significa que dizer que
está trocando a ordem das matrizes após a transposição, o que não está correto. Portanto, a afirmação dada no enunciado é falsa.
Resposta
Falso. A transposta do produto de duas matrizes
é igual ao produto das transpostas na ordem invertida, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dada uma base
de V definamos
por
.
a) Provar que A é uma matriz simétrica.
b) Mostrar que se e
, então o produto escalar em
pode ser expresso na forma matricial seguinte:
.
a) Provar que A é uma matriz simétrica.
b) Mostrar que se
Dados os vetores
e
, calcular:
a)
b) .
a)
b)
Considere o espaço
, de todas as sequências ordenadas com quatro números reais, e o conjunto
com as operações usuais. Verifique se
é subespaço de
ou não.
Considere o espaço
, de todas as matrizes reais de duas linhas e três colunas, e o conjunto
com as operações usuais. Verifique se
é subespaço de
ou não.