Considere o espaço
, de todas as sequências ordenadas com quatro números reais, e o conjunto
com as operações usuais. Verifique se
é subespaço de
ou não.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Estamos trabalhando com álgebra linear, mais especificamente com espaços vetoriais e subespaços. Para mostrar que
é um subespaço, precisamos verificar três coisas:
- O vetor zero está em
. - Se dois vetores estão em
, a soma deles também está em (fechamento sob adição). - Se um vetor está em
e multiplicamos ele por um número real, o resultado também está em (fechamento sob multiplicação por escalar).
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer
e
que estão em
, a soma deles
também deve estar em
.
Sabemos que:
Somando essas duas equações:
Isso mostra que
também satisfaz a condição
, então a soma está em
.
Passo 4
Por último, vamos checar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se
está em
e
é um número real, então
também deve estar em
.
Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso mostra que
também satisfaz a condição
, então está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço de
.
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A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto de suas transpostas.
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Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dada uma base
de V definamos
por
.
a) Provar que A é uma matriz simétrica.
b) Mostrar que se e
, então o produto escalar em
pode ser expresso na forma matricial seguinte:
.
a) Provar que A é uma matriz simétrica.
b) Mostrar que se
Considere o espaço
, de todas as matrizes reais de duas linhas e três colunas, e o conjunto
com as operações usuais. Verifique se
é subespaço de
ou não.
Sejam
e
bases ordenadas de
.
© Seja tal que
. Determine:
e
.
© Seja