Considere o espaço , de todas as sequências ordenadas com quatro números reais, e o conjunto com as operações usuais. Verifique se é subespaço de ou não.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para verificar se o conjunto é um subespaço de . Estamos trabalhando com álgebra linear, mais especificamente com espaços vetoriais e subespaços. Para mostrar que é um subespaço, precisamos verificar três coisas:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se dois vetores estão em , a soma deles também está em (fechamento sob adição).
  3. Se um vetor está em e multiplicamos ele por um número real, o resultado também está em (fechamento sob multiplicação por escalar).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer e que estão em , a soma deles também deve estar em .
Sabemos que:
Somando essas duas equações:
Isso mostra que também satisfaz a condição , então a soma está em .

Passo 4

Por último, vamos checar se é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se está em e é um número real, então também deve estar em .
Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por :
Isso mostra que também satisfaz a condição , então está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço de .

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Verdadeiro ou falso? Justique.
A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto de suas transpostas.
Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dada uma base de V definamos por .
a) Provar que A é uma matriz simétrica.
b) Mostrar que se e , então o produto escalar em pode ser expresso na forma matricial seguinte: .
Considere o espaço , de todas as matrizes reais de duas linhas e três colunas, e o conjunto com as operações usuais. Verifique se é subespaço de ou não.
Sejam e bases ordenadas de .
© Seja tal que . Determine: e .