Considere o espaço R^4=(x, y, z, t): x, y, z, t in R, de todas as sequências ordenadas com quatro números reais, e o conjunto A=(a, b, c, d): a+b=c+d com as operações usuais. Verifique se A é subespaço de R^4 ou não.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para verificar se o conjunto é um subespaço de . Estamos trabalhando com álgebra linear, mais especificamente com espaços vetoriais e subespaços. Para mostrar que é um subespaço, precisamos verificar três coisas:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se dois vetores estão em , a soma deles também está em (fechamento sob adição).
  3. Se um vetor está em e multiplicamos ele por um número real, o resultado também está em (fechamento sob multiplicação por escalar).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 + 0 = 0 + 0 implies 0 = 0 . O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se a1 + b1 = c1 + d1 e a2 + b2 = c2 + d2 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer (a1 + a2) + (b1 + b2) = (c1 + c2) + (d1 + d2) e que estão em , a soma deles também deve estar em .
Sabemos que:
Somando essas duas equações:
Isso mostra que também satisfaz a condição , então a soma está em .

Passo 4

Por último, vamos checar se a + b = c + d é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se k(a + b) = k(c + d) implies ka + kb = kc + kd está em e é um número real, então também deve estar em .
Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por :
Isso mostra que também satisfaz a condição , então está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço de .

Exercícios relacionados