Sejam alpha=(1,0),(0,1), beta=(-1,1),(1,1) e gamma=(3,-1),(1,3) bases ordenadas de R^2.
© Seja v in R^2 tal que [v]beta=[c3 -1]. Determine: [v]alpha e [v]gamma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Álgebra Linear, especificamente sobre mudança de base em . A gente tem três bases diferentes: , e . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as coordenadas do vetor nas bases e , dado que já sabemos as coordenadas dele na base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base é um conjunto de vetores que serve para representar qualquer vetor do espaço como uma combinação linear desses vetores. No caso, a base 3 -1 é v = 3 cdot (-1,1) + (-1) cdot (1,1) e o vetor tem coordenadas . Isso significa que:
Vamos calcular isso para encontrar as coordenadas de na base padrão .

Passo 3

Vamos fazer as multiplicações:
3 cdot (-1,1) = (-3,3)
-1 cdot (1,1) = (-1,-1)
Agora, somamos esses resultados:
v = (-3,3) + (-1,-1) = (-4,2)
Então, as coordenadas de na base (que é a base padrão) são .

Passo 4

Agora, para encontrar as coordenadas de v = c1 cdot (3,-1) + c2 cdot (1,3) na base 3c1 + c2 = -4 , precisamos expressar - c1 + 3c2 = 2 como uma combinação linear dos vetores da base :
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
3c1 + c2 = -4 - c1 + 3c2 = 2
Podemos multiplicar a primeira equação por 3 para facilitar a eliminação:
9c1 + 3c2 = -12
Agora, somamos com a segunda equação:
9c1 + 3c2 + (-c1 + 3c2) = -12 + 2
8c1 + 6c2 = -10
Podemos simplificar dividindo por 2:
4c1 + 3c2 = -5
Agora, vamos expressar c2 = -4 - 3c1 da primeira equação original:
4c1 + 3(-4 - 3c1) = -5
Substituindo na equação simplificada:
4c1 - 12 - 9c1 = -5
-5c1 - 12 = -5
-5c1 = 7
c1 = -75
c2 = -4 - 3(-75) = -4 + 215 = -205 + 215 = 15
Agora, substituímos em :

Resposta

As coordenadas do vetor [v]alpha = -4 2 e [v]gamma = -dfrac75 dfrac15 são:

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