Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Álgebra Linear, especificamente sobre mudança de base em . A gente tem três bases diferentes: , e . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as coordenadas do vetor nas bases e , dado que já sabemos as coordenadas dele na base .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base é um conjunto de vetores que serve para representar qualquer vetor do espaço como uma combinação linear desses vetores. No caso, a base é e o vetor tem coordenadas . Isso significa que:
Vamos calcular isso para encontrar as coordenadas de na base padrão .
Passo 3
Vamos fazer as multiplicações:
Agora, somamos esses resultados:
Então, as coordenadas de na base (que é a base padrão) são .
Passo 4
Agora, para encontrar as coordenadas de na base , precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
Podemos multiplicar a primeira equação por 3 para facilitar a eliminação:
Agora, somamos com a segunda equação:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Agora, vamos expressar da primeira equação original: