Sejam e bases ordenadas de .
© Seja tal que . Determine: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Álgebra Linear, especificamente sobre mudança de base em . A gente tem três bases diferentes: , e . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as coordenadas do vetor nas bases e , dado que já sabemos as coordenadas dele na base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base é um conjunto de vetores que serve para representar qualquer vetor do espaço como uma combinação linear desses vetores. No caso, a base é e o vetor tem coordenadas . Isso significa que:
Vamos calcular isso para encontrar as coordenadas de na base padrão .

Passo 3

Vamos fazer as multiplicações:
Agora, somamos esses resultados:
Então, as coordenadas de na base (que é a base padrão) são .

Passo 4

Agora, para encontrar as coordenadas de na base , precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
Podemos multiplicar a primeira equação por 3 para facilitar a eliminação:
Agora, somamos com a segunda equação:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Agora, vamos expressar da primeira equação original:
Substituindo na equação simplificada:
Agora, substituímos em :

Resposta

As coordenadas do vetor são:

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Considere o espaço , de todas as matrizes reais de duas linhas e três colunas, e o conjunto com as operações usuais. Verifique se é subespaço de ou não.
Considere o espaço , de todas as sequências ordenadas com quatro números reais, e o conjunto com as operações usuais. Verifique se é subespaço de ou não.
Dados os vetores e , determine em função de e as componentes dos vetores:
a)