Considere o espaço com do exercicio anterior e determine se os polinomios , e são linearmente independentes ou dependentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se os polinômios , e são linearmente independentes ou dependentes no espaço com . Basicamente, estamos trabalhando com polinômios de até segundo grau e queremos saber se algum desses polinômios pode ser escrito como combinação linear dos outros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que os polinômios sejam linearmente independentes. Eles são independentes se a única combinação linear que resulta no polinômio nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se para todos os , então necessariamente .
Passo 3
Vamos montar a equação da combinação linear igual a zero:
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Passo 4
Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de e de devem ser iguais a zero.
Passo 5
Isso nos dá um sistema de equações:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Passo 6
Podemos escrever o sistema na forma matricial:
[
]
Como temos mais incógnitas do que equações, vamos buscar soluções não triviais (onde pelo menos um não é zero).
Passo 7
Resolvendo o sistema, começamos isolando uma variável. Vamos isolar da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Passo 8
Podemos agora expressar em função de :
E substituindo de volta em :
Passo 9
Observamos que podemos escolher livremente, por exemplo, , então:
Isso nos dá uma combinação não trivial:
Resposta
Os polinômios , e são linearmente dependentes no espaço .