Considere o espaço Omega2(Omegan com n=2) do exercicio anterior e determine se os polinomios P1(z)=z-2 z^2, P2(z)=z^2-4 z e P3(z)=-7 z+8 z^2 são linearmente independentes ou dependentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se os polinômios , e são linearmente independentes ou dependentes no espaço com . Basicamente, estamos trabalhando com polinômios de até segundo grau e queremos saber se algum desses polinômios pode ser escrito como combinação linear dos outros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que os polinômios sejam linearmente independentes. Eles são independentes se a única combinação linear que resulta no polinômio nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se para todos os , então necessariamente .

Passo 3

Vamos montar a equação da combinação linear igual a zero:
c1(z - 2z^2) + c2(z^2 - 4z) + c3(-7z + 8z^2) = 0
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
c1z - 2c1z^2 + c2z^2 - 4c2z - 7c3z + 8c3z^2 = 0

Passo 4

Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes:
(-2c1 + c2 + 8c3)z^2 + (c1 - 4c2 - 7c3)z = 0
Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de e de devem ser iguais a zero.

Passo 5

Isso nos dá um sistema de equações:
-2c1 + c2 + 8c3 = 0 c1 - 4c2 - 7c3 = 0
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 6

Podemos escrever o sistema na forma matricial:
[
-2 & 1 & 8 1 & -4 & -7 c1 c2 c3 = 0 0


]
Como temos mais incógnitas do que equações, vamos buscar soluções não triviais (onde pelo menos um não é zero).

Passo 7

Resolvendo o sistema, começamos isolando uma variável. Vamos isolar c1 = 4c2 + 7c3 da segunda equação:
-2(4c2 + 7c3) + c2 + 8c3 = 0 -8c2 - 14c3 + c2 + 8c3 = 0 -7c2 - 6c3 = 0
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 8

Podemos agora expressar -7c2 = 6c3 c2 = -67c3 em função de c1 = 4(-67c3) + 7c3 = -247c3 + 7c3 = 257c3 :
E substituindo de volta em :

Passo 9

Observamos que podemos escolher c1 = 257 times 7 = 25 c2 = -67 times 7 = -6 c3 = 7 livremente, por exemplo, 25P1(z) - 6P2(z) + 7P3(z) = 0 , então:
Isso nos dá uma combinação não trivial:

Resposta

Os polinômios , e são linearmente dependentes no espaço .

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