Um menino faz uma bola presa a um fio girar num círculo horizontal de raio de . Quantas voltas por minuto deve fazer a bola para que a aceleração centrípeta seja igual à aceleração de queda livre g devido a gravidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem um menino que está girando uma bola presa a um fio em um círculo horizontal com raio de . A pergunta é: quantas voltas por minuto a bola precisa dar para que a aceleração centrípeta seja igual à aceleração da gravidade, que a gente chama de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e a fórmula da aceleração centrípeta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é aceleração centrípeta. Quando um objeto gira em um círculo, ele está sempre mudando de direção, o que significa que tem uma aceleração mesmo se a velocidade for constante. Essa aceleração aponta para o centro do círculo e é dada por:
onde é a velocidade tangencial e é o raio do círculo.

Passo 3

Como a gente quer relacionar isso com a frequência de rotação, é mais útil usar a fórmula que envolve a frequência (em voltas por segundo). A velocidade tangencial pode ser expressa em função de assim:
Substituindo isso na fórmula da aceleração centrípeta, temos:

Passo 4

Agora, a condição do problema é que a aceleração centrípeta seja igual à aceleração da gravidade . Então, podemos escrever:
Vamos isolar para encontrar a frequência:

Passo 5

Substituindo os valores fornecidos: e :
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, calcula o denominador:
Então:

Passo 6

Como a pergunta pede as voltas por minuto (rpm), vamos converter Hertz para rpm. Sabemos que:
Então:

Resposta

A bola deve girar a aproximadamente 33,4 voltas por minuto para que a aceleração centrípeta seja igual à aceleração da gravidade.

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onde é a unidade imaginária. Prove que: , onde é o tensor de Levi-Cevita, que pode assumir os valores 0 , quando há pelo menos um par de índices repetidos, 1 se a ordem dos índices for uma permutação par: ou e o valor -1 para qualquer outro caso.
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