Um menino faz uma bola presa a um fio girar num círculo horizontal de raio de 0,8 m. Quantas voltas por minuto deve fazer a bola para que a aceleração centrípeta seja igual à aceleração de queda livre g devido a gravidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem um menino que está girando uma bola presa a um fio em um círculo horizontal com raio de 0,8,m. A pergunta é: quantas voltas por minuto a bola precisa dar para que a aceleração centrípeta seja igual à aceleração da gravidade, que a gente chama de g. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e a fórmula da aceleração centrípeta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é aceleração centrípeta. Quando um objeto gira em um círculo, ele está sempre mudando de direção, o que significa que tem uma aceleração mesmo se a velocidade for constante. Essa aceleração aponta para o centro do círculo e é dada por:
ac = v^2r
onde v é a velocidade tangencial e r é o raio do círculo.

Passo 3

Como a gente quer relacionar isso com a frequência de rotação, é mais útil usar a fórmula que envolve a frequência f (em voltas por segundo). A velocidade tangencial v pode ser expressa em função de f assim:
v = 2pi r f
Substituindo isso na fórmula da aceleração centrípeta, temos:
ac = (2pi r f)^2r = 4pi^2 r f^2

Passo 4

Agora, a condição do problema é que a aceleração centrípeta ac seja igual à aceleração da gravidade g. Então, podemos escrever:
4pi^2 r f^2 = g
Vamos isolar f para encontrar a frequência:
f^2 = g4pi^2 r
f = raizg4pi^2 r

Passo 5

Substituindo os valores fornecidos: r = 0,8,m e g = 9,8,m/s^2:
f = raiz9,84pi^2 times 0,8
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, calcula o denominador:
4pi^2 times 0,8 approx 4 times 9,8696 times 0,8 approx 31,579
Então:
f = raiz9,831,579 approx raiz0,3105 approx 0,557,Hz

Passo 6

Como a pergunta pede as voltas por minuto (rpm), vamos converter Hertz para rpm. Sabemos que:
1,Hz = 60,rpm
Então:
0,557,Hz times 60 approx 33,42,rpm

Resposta

A bola deve girar a aproximadamente 33,4 voltas por minuto para que a aceleração centrípeta seja igual à aceleração da gravidade.

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