As matrizes de spin de Pauli são definidas como:
onde é a unidade imaginária. Prove que: , onde é o tensor de Levi-Cevita, que pode assumir os valores 0 , quando há pelo menos um par de índices repetidos, 1 se a ordem dos índices for uma permutação par: ou e o valor -1 para qualquer outro caso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre as matrizes de Pauli. A questão pede para provar que o comutador das matrizes de Pauli e é igual a vezes a soma envolvendo o tensor de Levi-Civita e a matriz . Para isso, vamos precisar entender o que são matrizes de Pauli, o que é um comutador de matrizes e como o tensor de Levi-Civita funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que são as matrizes de Pauli. Elas são três matrizes usadas na mecânica quântica para representar o spin de partículas. São definidas da seguinte forma:
Aqui, é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o comutador de duas matrizes. O comutador de duas matrizes e é definido por:
Então, para as matrizes de Pauli e , temos:

Passo 4

O próximo passo é calcular o comutador para cada par de matrizes de Pauli. Vamos fazer isso para todos os pares possíveis:
  1. Comutador :
    Portanto,
  2. Comutador :
    Seguindo o mesmo processo, encontramos:
  3. Comutador :
    E também:

Passo 5

Observando os resultados obtidos, vemos que o comutador resulta em vezes a matriz de Pauli correspondente , onde formam uma permutação cíclica de . Isso está relacionado ao tensor de Levi-Civita , que é igual a 1 para permutações pares de e -1 para permutações ímpares, e 0 quando há índices repetidos.

Passo 6

Portanto, podemos generalizar os resultados obtidos para quaisquer índices e :
Essa é a expressão que queríamos provar, mostrando que o comutador das matrizes de Pauli está diretamente relacionado ao tensor de Levi-Civita.

Resposta

Provar que é verdadeiro para as matrizes de Pauli , e , conforme demonstrado nos passos acima.

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