As matrizes de spin de Pauli são definidas como:
onde
é a unidade imaginária. Prove que:
, onde
é o tensor de Levi-Cevita, que pode assumir os valores 0 , quando há pelo menos um par de índices repetidos, 1 se a ordem dos índices for uma permutação par:
ou
e o valor -1 para qualquer outro caso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre as matrizes de Pauli. A questão pede para provar que o comutador das matrizes de Pauli
e
é igual a
vezes a soma envolvendo o tensor de Levi-Civita
e a matriz
. Para isso, vamos precisar entender o que são matrizes de Pauli, o que é um comutador de matrizes e como o tensor de Levi-Civita funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que são as matrizes de Pauli. Elas são três matrizes
usadas na mecânica quântica para representar o spin de partículas. São definidas da seguinte forma:
Aqui,
é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o comutador de duas matrizes. O comutador
de duas matrizes
e
é definido por:
Então, para as matrizes de Pauli
e
, temos:
Passo 4
O próximo passo é calcular o comutador
para cada par de matrizes de Pauli. Vamos fazer isso para todos os pares possíveis:
-
Comutador
: Portanto, -
Comutador
:
Seguindo o mesmo processo, encontramos: -
Comutador
:
E também:
Passo 5
Observando os resultados obtidos, vemos que o comutador
resulta em
vezes a matriz de Pauli correspondente
, onde
formam uma permutação cíclica de
. Isso está relacionado ao tensor de Levi-Civita
, que é igual a 1 para permutações pares de
e -1 para permutações ímpares, e 0 quando há índices repetidos.
Passo 6
Portanto, podemos generalizar os resultados obtidos para quaisquer índices
e
:
Essa é a expressão que queríamos provar, mostrando que o comutador das matrizes de Pauli está diretamente relacionado ao tensor de Levi-Civita.
Resposta
Provar que
é verdadeiro para as matrizes de Pauli
,
e
, conforme demonstrado nos passos acima.