As matrizes de spin de Pauli são definidas como:
sigma1=(ll 0 & 1 1 & 0 ), sigma2=(cc 0 & -i i & 0 ), e sigma3=(cc 1 & 0 0 & -1 )
onde i é a unidade imaginária. Prove que: [sigmai, sigmaj]=2 i sumi=1^3 epsiloni j k sigmak, onde epsiloni j k é o tensor de Levi-Cevita, que pode assumir os valores 0 , quando há pelo menos um par de índices repetidos, 1 se a ordem dos índices for uma permutação par: 1,2,3 ; 2,3,1 ou 3,1,2 e o valor -1 para qualquer outro caso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre as matrizes de Pauli. A questão pede para provar que o comutador das matrizes de Pauli sigmai e sigmaj é igual a 2i vezes a soma envolvendo o tensor de Levi-Civita epsilonijk e a matriz sigmak. Para isso, vamos precisar entender o que são matrizes de Pauli, o que é um comutador de matrizes e como o tensor de Levi-Civita funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que são as matrizes de Pauli. Elas são três matrizes 2 times 2 usadas na mecânica quântica para representar o spin de partículas. São definidas da seguinte forma:
sigma1 = 0 & 1 1 & 0 , sigma2 = 0 & -i i & 0 , sigma3 = 1 & 0 0 & -1
Aqui, i é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o comutador de duas matrizes. O comutador [A, B] de duas matrizes A e B é definido por:
[A, B] = AB - BA
Então, para as matrizes de Pauli sigmai e sigmaj, temos:
[sigmai, sigmaj] = sigmai sigmaj - sigmaj sigmai

Passo 4

O próximo passo é calcular o comutador [sigmai, sigmaj] para cada par de matrizes de Pauli. Vamos fazer isso para todos os pares possíveis:
  1. Comutador [sigma1, sigma2]:
    sigma1 sigma2 = 0 & 1 1 & 0 0 & -i i & 0 = (0)(0) + (1)(i) & (0)(-i) + (1)(0) (1)(0) + (0)(i) & (1)(-i) + (0)(0) = i & 0 0 & -i
    sigma2 sigma1 = 0 & -i i & 0 0 & 1 1 & 0 = (0)(0) + (-i)(1) & (0)(1) + (-i)(0) (i)(0) + (0)(1) & (i)(1) + (0)(0) = -i & 0 0 & i
    Portanto,
    [sigma1, sigma2] = sigma1 sigma2 - sigma2 sigma1 = i & 0 0 & -i - -i & 0 0 & i = 2i & 0 0 & -2i = 2i sigma3
  2. Comutador [sigma2, sigma3]:
    Seguindo o mesmo processo, encontramos:
    [sigma2, sigma3] = 2i sigma1
  3. Comutador [sigma3, sigma1]:
    E também:
    [sigma3, sigma1] = 2i sigma2

Passo 5

Observando os resultados obtidos, vemos que o comutador [sigmai, sigmaj] resulta em 2i vezes a matriz de Pauli correspondente sigmak, onde (i,j,k) formam uma permutação cíclica de (1,2,3). Isso está relacionado ao tensor de Levi-Civita epsilonijk, que é igual a 1 para permutações pares de (1,2,3) e -1 para permutações ímpares, e 0 quando há índices repetidos.

Passo 6

Portanto, podemos generalizar os resultados obtidos para quaisquer índices i e j:
[sigmai, sigmaj] = 2i sumk=1^3 epsilonijk sigmak
Essa é a expressão que queríamos provar, mostrando que o comutador das matrizes de Pauli está diretamente relacionado ao tensor de Levi-Civita.

Resposta

Provar que [sigmai, sigmaj] = 2i sumk=1^3 epsilonijk sigmak é verdadeiro para as matrizes de Pauli sigmai, sigmaj e sigmak, conforme demonstrado nos passos acima.

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