Considere o espaço .
Elabore um reticulado em que apareçam .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de álgebra linear que pede para a gente elaborar um reticulado (ou diagrama de subespaços) no espaço tridimensional . No reticulado, queremos mostrar os seguintes subespaços: o próprio , a soma de dois subespaços , a interseção desses subespaços , e o subespaço trivial . Para resolver isso, precisamos entender o que são subespaços, soma e interseção de subespaços, e como representá-los em um diagrama.

Passo 2

Primeiro, vamos definir dois subespaços e em . Vamos escolher como o subespaço gerado pelo vetor e como o subespaço gerado pelo vetor . Isso significa que:
Esses subespaços são linhas ao longo dos eixos e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a soma dos subespaços . A soma de dois subespaços é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos vetores em e . Ou seja:
Nesse caso, qualquer vetor em terá a forma:
Isso descreve o plano em .

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a interseção dos subespaços . A interseção de dois subespaços é o conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços. Como é o eixo e é o eixo , o único vetor que está em ambos é o vetor zero:

Passo 5

Agora que temos todos os subespaços necessários ( , , , e ), vamos organizar esses elementos em um reticulado. Um reticulado mostra as relações de inclusão entre os subespaços. Aqui está como fica:
  1. No topo, temos o espaço completo .
  2. Abaixo dele, temos o plano .
  3. Abaixo do plano, temos os eixos individuais e .
  4. No fundo, temos o subespaço trivial .
Visualmente, o reticulado ficaria assim:
ℝ³
|
W + L
|   |
W   L
|
{0}

Resposta

O reticulado elaborado em inclui os subespaços , (o plano ), (apenas o vetor zero) e . A organização em forma de diagrama é a seguinte:
ℝ³
|
W + L
|   |
W   L
|
{0}

Exercícios relacionados

Demonstre as propriedades dos complementares da Tabela 1 mostrando que
a) .
Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de . Justifique.
.
Mostre que se e são conjuntos, então
a) mostrando que cada lado é um subconjunto do outro lado.
Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de . Justifique.
.