Considere o espaço R^3.
Elabore um reticulado em que apareçam R^3, W+L, W cap L e0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de álgebra linear que pede para a gente elaborar um reticulado (ou diagrama de subespaços) no espaço tridimensional R^3. No reticulado, queremos mostrar os seguintes subespaços: o próprio R^3, a soma de dois subespaços W + L, a interseção desses subespaços W cap L, e o subespaço trivial 0. Para resolver isso, precisamos entender o que são subespaços, soma e interseção de subespaços, e como representá-los em um diagrama.

Passo 2

Primeiro, vamos definir dois subespaços W e L em R^3. Vamos escolher W como o subespaço gerado pelo vetor w = (1, 0, 0) e L como o subespaço gerado pelo vetor l = (0, 1, 0). Isso significa que:
W = span 1 0 0 e L = span 0 1 0
Esses subespaços são linhas ao longo dos eixos x e y, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a soma dos subespaços W + L. A soma de dois subespaços é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos vetores em W e L. Ou seja:
W + L = w + l mid w in W, l in L
Nesse caso, qualquer vetor em W + L terá a forma:
a b 0 , onde a, b in R
Isso descreve o plano xy em R^3.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a interseção dos subespaços W cap L. A interseção de dois subespaços é o conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços. Como W é o eixo x e L é o eixo y, o único vetor que está em ambos é o vetor zero:
W cap L = 0

Passo 5

Agora que temos todos os subespaços necessários ( R^3, W + L, W cap L, e 0), vamos organizar esses elementos em um reticulado. Um reticulado mostra as relações de inclusão entre os subespaços. Aqui está como fica:
  1. No topo, temos o espaço completo R^3.
  2. Abaixo dele, temos o plano W + L.
  3. Abaixo do plano, temos os eixos individuais W e L.
  4. No fundo, temos o subespaço trivial 0.
Visualmente, o reticulado ficaria assim:
ℝ³
|
W + L
|   |
W   L
|
{0}

Resposta

O reticulado elaborado em R^3 inclui os subespaços R^3, W + L (o plano xy), W cap L (apenas o vetor zero) e 0. A organização em forma de diagrama é a seguinte:
ℝ³
|
W + L
|   |
W   L
|
{0}

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