Considere o espaço .
Elabore um reticulado em que apareçam .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de álgebra linear que pede para a gente elaborar um reticulado (ou diagrama de subespaços) no espaço tridimensional . No reticulado, queremos mostrar os seguintes subespaços: o próprio , a soma de dois subespaços , a interseção desses subespaços , e o subespaço trivial . Para resolver isso, precisamos entender o que são subespaços, soma e interseção de subespaços, e como representá-los em um diagrama.
Passo 2
Primeiro, vamos definir dois subespaços e em . Vamos escolher como o subespaço gerado pelo vetor e como o subespaço gerado pelo vetor . Isso significa que:
Esses subespaços são linhas ao longo dos eixos e , respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a soma dos subespaços . A soma de dois subespaços é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos vetores em e . Ou seja:
Nesse caso, qualquer vetor em terá a forma:
Isso descreve o plano em .
Passo 4
Em seguida, vamos determinar a interseção dos subespaços . A interseção de dois subespaços é o conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços. Como é o eixo e é o eixo , o único vetor que está em ambos é o vetor zero:
Passo 5
Agora que temos todos os subespaços necessários (, , , e ), vamos organizar esses elementos em um reticulado. Um reticulado mostra as relações de inclusão entre os subespaços. Aqui está como fica:
No topo, temos o espaço completo .
Abaixo dele, temos o plano .
Abaixo do plano, temos os eixos individuais e .
No fundo, temos o subespaço trivial .
Visualmente, o reticulado ficaria assim:
ℝ³
|
W + L
| |
W L
|
{0}
Resposta
O reticulado elaborado em inclui os subespaços , (o plano ), (apenas o vetor zero) e . A organização em forma de diagrama é a seguinte: