Considere o espaço .
Elabore um reticulado em que apareçam .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de álgebra linear que pede para a gente elaborar um reticulado (ou diagrama de subespaços) no espaço tridimensional . No reticulado, queremos mostrar os seguintes subespaços: o próprio , a soma de dois subespaços , a interseção desses subespaços , e o subespaço trivial . Para resolver isso, precisamos entender o que são subespaços, soma e interseção de subespaços, e como representá-los em um diagrama.
Passo 2
Primeiro, vamos definir dois subespaços e em . Vamos escolher como o subespaço gerado pelo vetor e como o subespaço gerado pelo vetor . Isso significa que:
Esses subespaços são linhas ao longo dos eixos x e y, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a soma dos subespaços W + L. A soma de dois subespaços é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos vetores em W e L. Ou seja:
W + L = w + l mid w in W, l in L
Nesse caso, qualquer vetor em W + L terá a forma:
a b 0 , onde a, b in R
Isso descreve o plano xy em R^3.
Passo 4
Em seguida, vamos determinar a interseção dos subespaços W cap L. A interseção de dois subespaços é o conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços. Como W é o eixo x e L é o eixo y, o único vetor que está em ambos é o vetor zero:
W cap L = 0
Passo 5
Agora que temos todos os subespaços necessários (R^3, W + L, W cap L, e 0), vamos organizar esses elementos em um reticulado. Um reticulado mostra as relações de inclusão entre os subespaços. Aqui está como fica:
No topo, temos o espaço completo R^3.
Abaixo dele, temos o plano W + L.
Abaixo do plano, temos os eixos individuais W e L.
No fundo, temos o subespaço trivial 0.
Visualmente, o reticulado ficaria assim:
ℝ³
|
W + L
| |
W L
|
{0}
Resposta
O reticulado elaborado em R^3 inclui os subespaços R^3, W + L (o plano xy), W cap L (apenas o vetor zero) e 0. A organização em forma de diagrama é a seguinte: