Mostre que se A, B e C são conjuntos, então A cap B cap C= barA cup barB cup barC
a) mostrando que cada lado é um subconjunto do outro lado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que para quaisquer conjuntos e , o complementar da interseção deles é igual à união dos complementares individuais. Isso está relacionado aos Teoremas de De Morgan na teoria dos conjuntos. Para resolver, vamos mostrar que cada lado da igualdade é um subconjunto do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que .
Pegue um elemento que está em . Isso significa que não está na interseção de e . Ou seja, pelo menos um dos conjuntos ou não contém .
Se não está em , então está em . Da mesma forma, se não está em , está em , e o mesmo vale para . Portanto, deve estar em .

Passo 3

Agora, vamos provar o contrário: que .
Pegue um elemento que está em . Isso significa que está em pelo menos um dos complementares, ou seja, não está em , ou não está em , ou não está em .
Se não está em , ou , então não pode estar na interseção . Logo, está em .

Passo 4

Como mostramos que cada lado da igualdade é um subconjunto do outro, concluímos que os dois conjuntos são iguais.

Resposta

Portanto, demonstramos que .

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