Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de M2(R). Justifique.
S=A in M2(R) / A^t=A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o conjunto é um subespaço de , que é o espaço das matrizes 2x2 com entradas reais. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços, verificando algumas propriedades básicas. Vamos precisar entender o que é um subespaço e como testar se um conjunto satisfaz essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores (no nosso caso, matrizes) do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também está no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em 0 = 0 & 0 0 & 0 é a matriz nula:
0^t = 0
Precisamos verificar se essa matriz está em . Calculando a transposta de :
Como , a matriz nula pertence a .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em A = a & b b & d , B = e & f f & h :
A + B = a + e & b + f b + f & d + h
Note que (A + B)^t = a + e & b + f b + f & d + h e porque são simétricas.
Agora, vamos somar e :
A transposta de é:
Como , a soma também é uma matriz simétrica e, portanto, está em .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz A = a & b b & d e um escalar cA = ca & cb cb & cd :
(cA)^t = ca & cb cb & cd
Multiplicando por :
A transposta de é:
Como , a matriz resultante também é simétrica e, portanto, pertence a .

Resposta

O conjunto satisfaz todas as propriedades de um subespaço. Logo, é um subespaço de .

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