Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de
. Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o conjunto
é um subespaço de
, que é o espaço das matrizes 2x2 com entradas reais. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços, verificando algumas propriedades básicas. Vamos precisar entender o que é um subespaço e como testar se um conjunto satisfaz essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores (no nosso caso, matrizes) do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto.
- É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também está no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é a matriz nula:
Precisamos verificar se essa matriz está em
. Calculando a transposta de
:
Como
, a matriz nula pertence a
.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em
:
Note que
e
porque são simétricas.
Agora, vamos somar
e
:
A transposta de
é:
Como
, a soma também é uma matriz simétrica e, portanto, está em
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz
e um escalar
:
Multiplicando
por
:
A transposta de
é:
Como
, a matriz resultante também é simétrica e, portanto, pertence a
.
Resposta
O conjunto
satisfaz todas as propriedades de um subespaço. Logo,
é um subespaço de
.
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Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
.
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.
Demonstre as propriedades dos complementares da Tabela 1 mostrando que
a) .
a)
Considere o espaço
.
Elabore um reticulado em que apareçam .
Elabore um reticulado em que apareçam