Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de M2(R). Justifique.
L=A in M2(R) / a11= a22=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que identificar qual dos conjuntos fornecidos não é um subespaço de , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e verificar se o conjunto atende aos critérios para ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em .
  2. Fechamento sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar real, então deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
A matriz zero 0 & 0 0 & 0 tem 0 & a12 a21 & 0 e 0 & b12 b21 & 0 , então pertence a A + B = 0 + 0 & a12 + b12 a21 + b21 & 0 + 0 = 0 & a12 + b12 a21 + b21 & 0 . Portanto, a primeira condição está satisfeita.
2. Fechamento sob adição:
Suponha que e estão em . Vamos somar essas matrizes:
Como e para ambas as matrizes, a soma também terá e . Logo, está em . A segunda condição também está satisfeita.

Passo 4

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos considerar uma matriz 0 & a12 a21 & 0 em cA = c cdot 0 & c cdot a12 c cdot a21 & c cdot 0 = 0 & c a12 c a21 & 0 e um escalar real . Multiplicando por :
Aqui, e , então também pertence a . A terceira condição está satisfeita.

Resposta

Como o conjunto satisfaz todas as três condições para ser um subespaço de , ele é um subespaço. Portanto, nenhum dos conjuntos fornecidos na questão é identificado como não sendo um subespaço com base no enunciado apresentado.

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