Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de
. Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que identificar qual dos conjuntos fornecidos não é um subespaço de
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e verificar se o conjunto
atende aos critérios para ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em
. - Fechamento sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar real, então deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
A matriz zero
tem
e
, então pertence a
. Portanto, a primeira condição está satisfeita.
2. Fechamento sob adição:
Suponha que
e
estão em
. Vamos somar essas matrizes:
Como
e
para ambas as matrizes, a soma também terá
e
. Logo,
está em
. A segunda condição também está satisfeita.
Passo 4
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos considerar uma matriz
em
e um escalar real
. Multiplicando
por
:
Aqui,
e
, então
também pertence a
. A terceira condição está satisfeita.
Resposta
Como o conjunto
satisfaz todas as três condições para ser um subespaço de
, ele é um subespaço. Portanto, nenhum dos conjuntos fornecidos na questão é identificado como não sendo um subespaço com base no enunciado apresentado.