Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de . Justifique. .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que identificar qual dos conjuntos fornecidos não é um subespaço de , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e verificar se o conjunto atende aos critérios para ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se ele satisfaz três condições:
Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em .
Fechamento sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar real, então deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
A matriz zero tem e , então pertence a . Portanto, a primeira condição está satisfeita.
2. Fechamento sob adição:
Suponha que e estão em . Vamos somar essas matrizes:
Como e para ambas as matrizes, a soma também terá e . Logo, está em . A segunda condição também está satisfeita.
Passo 4
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos considerar uma matriz em e um escalar real . Multiplicando por :
Aqui, e , então também pertence a . A terceira condição está satisfeita.
Resposta
Como o conjunto satisfaz todas as três condições para ser um subespaço de , ele é um subespaço. Portanto, nenhum dos conjuntos fornecidos na questão é identificado como não sendo um subespaço com base no enunciado apresentado.