Mostre que os vetores u=(1,1,1), v=(1,2,3) e w=(1,4,9) formam uma base do R^3. Escreva cada um dos vetores da base canônica do R^3 como combinação linear de u, v e w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A pergunta é sobre verificar se os vetores , e formam uma base do espaço . Além disso, precisamos escrever cada vetor da base canônica de como uma combinação linear desses vetores , e . Para isso, vamos precisar entender o que é base, dependência linear e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço . Se os três vetores forem linearmente independentes, então eles formam uma base de .

Passo 3

Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 4 1 & 3 & 9
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Calculando o determinante de det(A) = 1 cdot (2 cdot 9 - 4 cdot 3) - 1 cdot (1 cdot 9 - 4 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 3 - 2 cdot 1) :
det(A) = 1 cdot (18 - 12) - 1 cdot (9 - 4) + 1 cdot (3 - 2)
det(A) = 6 - 5 + 1 = 2
Como , os vetores são linearmente independentes e formam uma base de .

Passo 5

Agora, vamos escrever cada vetor da base canônica a cdot u + b cdot v + c cdot w = ei , e como combinação linear de , e . Isso significa que precisamos encontrar coeficientes , e tais que:
para cada .

Passo 6

Vamos montar o sistema de equações para cada vetor canônico. Primeiro, para a(1) + b(1) + c(1) = 1 a(1) + b(2) + c(4) = 0 a(1) + b(3) + c(9) = 0 :
a + b + c = 1 a + 2b + 4c = 0 a + 3b + 9c = 0
Isso nos dá o sistema:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Subtraia a primeira equação da segunda:
(a + 2b + 4c) - (a + b + c) = 0 - 1 b + 3c = -1 (1)
Subtraia a segunda equação da terceira:
(a + 3b + 9c) - (a + 2b + 4c) = 0 - 0 b + 5c = 0 (2)
Agora, subtraia a equação (2) da equação (1):
(b + 3c) - (b + 5c) = -1 - 0 -2c = -1 c = 12
Substituindo b + 5 cdot 12 = 0 b + 52 = 0 b = -52 na equação (2):
a - 52 + 12 = 1 a - 2 = 1 a = 3
Substituindo e1 = 3u - 52v + 12w e na primeira equação original:
Então, a combinação linear para é:

Passo 8

Repetindo o processo para a + b + c = 0 a + 2b + 4c = 1 a + 3b + 9c = 0 :
b + 3c = 1 (3)
Subtraia a primeira equação da segunda:
b + 5c = -1 (4)
Subtraia a segunda equação da terceira:
(b + 3c) - (b + 5c) = 1 - (-1) -2c = 2 c = -1
Subtraia a equação (4) da equação (3):
b + 3(-1) = 1 b - 3 = 1 b = 4
Substituindo a + 4 - 1 = 0 a + 3 = 0 a = -3 na equação (3):
e2 = -3u + 4v - w
Substituindo e na primeira equação:
Então, a combinação linear para é:

Passo 9

Finalmente, para a + b + c = 0 a + 2b + 4c = 0 a + 3b + 9c = 1 :
b + 3c = 0 (5)
Subtraia a primeira equação da segunda:
b + 5c = 1 (6)
Subtraia a segunda equação da terceira:
(b + 5c) - (b + 3c) = 1 - 0 2c = 1 c = 12
Subtraia a equação (5) da equação (6):
b + 3 cdot 12 = 0 b + 32 = 0 b = -32
Substituindo a - 32 + 12 = 0 a - 1 = 0 a = 1 na equação (5):
e3 = u - 32v + 12w
Substituindo e na primeira equação:
Então, a combinação linear para é:

Resposta

Os vetores e1 = 3u - 52v + 12w , e2 = -3u + 4v - w e e3 = u - 32v + 12w formam uma base de . As combinações lineares dos vetores da base canônica são:

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