Mostre que os vetores e formam uma base do . Escreva cada um dos vetores da base canônica do como combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A pergunta é sobre verificar se os vetores , e formam uma base do espaço . Além disso, precisamos escrever cada vetor da base canônica de como uma combinação linear desses vetores , e . Para isso, vamos precisar entender o que é base, dependência linear e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço . Se os três vetores forem linearmente independentes, então eles formam uma base de .
Passo 3
Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Como , os vetores são linearmente independentes e formam uma base de .
Passo 5
Agora, vamos escrever cada vetor da base canônica a cdot u + b cdot v + c cdot w = ei , e como combinação linear de , e . Isso significa que precisamos encontrar coeficientes , e tais que:
para cada .
Passo 6
Vamos montar o sistema de equações para cada vetor canônico. Primeiro, para a(1) + b(1) + c(1) = 1 a(1) + b(2) + c(4) = 0 a(1) + b(3) + c(9) = 0 :
a + b + c = 1 a + 2b + 4c = 0 a + 3b + 9c = 0
Isso nos dá o sistema:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Subtraia a primeira equação da segunda:
(a + 2b + 4c) - (a + b + c) = 0 - 1 b + 3c = -1 (1)
Subtraia a segunda equação da terceira:
(a + 3b + 9c) - (a + 2b + 4c) = 0 - 0 b + 5c = 0 (2)
Agora, subtraia a equação (2) da equação (1):
(b + 3c) - (b + 5c) = -1 - 0 -2c = -1 c = 12
Substituindo b + 5 cdot 12 = 0 b + 52 = 0 b = -52 na equação (2):
a - 52 + 12 = 1 a - 2 = 1 a = 3
Substituindo e1 = 3u - 52v + 12w e na primeira equação original:
Então, a combinação linear para é:
Passo 8
Repetindo o processo para a + b + c = 0 a + 2b + 4c = 1 a + 3b + 9c = 0 :
b + 3c = 1 (3)
Subtraia a primeira equação da segunda:
b + 5c = -1 (4)
Subtraia a segunda equação da terceira:
(b + 3c) - (b + 5c) = 1 - (-1) -2c = 2 c = -1
Subtraia a equação (4) da equação (3):
b + 3(-1) = 1 b - 3 = 1 b = 4
Substituindo a + 4 - 1 = 0 a + 3 = 0 a = -3 na equação (3):
e2 = -3u + 4v - w
Substituindo e na primeira equação:
Então, a combinação linear para é:
Passo 9
Finalmente, para a + b + c = 0 a + 2b + 4c = 0 a + 3b + 9c = 1 :
b + 3c = 0 (5)
Subtraia a primeira equação da segunda:
b + 5c = 1 (6)
Subtraia a segunda equação da terceira:
(b + 5c) - (b + 3c) = 1 - 0 2c = 1 c = 12
Subtraia a equação (5) da equação (6):
b + 3 cdot 12 = 0 b + 32 = 0 b = -32
Substituindo a - 32 + 12 = 0 a - 1 = 0 a = 1 na equação (5):
e3 = u - 32v + 12w
Substituindo e na primeira equação:
Então, a combinação linear para é:
Resposta
Os vetores e1 = 3u - 52v + 12w , e2 = -3u + 4v - w e e3 = u - 32v + 12w formam uma base de . As combinações lineares dos vetores da base canônica são: