Mostre que os vetores e formam uma base do . Escreva cada um dos vetores da base canônica do como combinação linear de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A pergunta é sobre verificar se os vetores , e formam uma base do espaço . Além disso, precisamos escrever cada vetor da base canônica de como uma combinação linear desses vetores , e . Para isso, vamos precisar entender o que é base, dependência linear e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço . Se os três vetores forem linearmente independentes, então eles formam uma base de .

Passo 3

Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Calculando o determinante de :
Como , os vetores são linearmente independentes e formam uma base de .

Passo 5

Agora, vamos escrever cada vetor da base canônica , e como combinação linear de , e . Isso significa que precisamos encontrar coeficientes , e tais que:
para cada .

Passo 6

Vamos montar o sistema de equações para cada vetor canônico. Primeiro, para :
Isso nos dá o sistema:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Subtraia a primeira equação da segunda:
Subtraia a segunda equação da terceira:
Agora, subtraia a equação (2) da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Substituindo e na primeira equação original:
Então, a combinação linear para é:

Passo 8

Repetindo o processo para :
Subtraia a primeira equação da segunda:
Subtraia a segunda equação da terceira:
Subtraia a equação (4) da equação (3):
Substituindo na equação (3):
Substituindo e na primeira equação:
Então, a combinação linear para é:

Passo 9

Finalmente, para :
Subtraia a primeira equação da segunda:
Subtraia a segunda equação da terceira:
Subtraia a equação (5) da equação (6):
Substituindo na equação (5):
Substituindo e na primeira equação:
Então, a combinação linear para é:

Resposta

Os vetores , e formam uma base de . As combinações lineares dos vetores da base canônica são:

Exercícios relacionados

Verifique se as matrizes e geram o espaço vetorial real . Resp.: Sim.
Considere no espaço os vetores e .
(a) Determine o vetor ; Resp.:
(b) Encontre o vetor da equação . Resp.:
Seja a matriz . Determine:
(b) .