Mostre que os vetores e formam uma base do . Escreva cada um dos vetores da base canônica do como combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A pergunta é sobre verificar se os vetores , e formam uma base do espaço . Além disso, precisamos escrever cada vetor da base canônica de como uma combinação linear desses vetores , e . Para isso, vamos precisar entender o que é base, dependência linear e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço . Se os três vetores forem linearmente independentes, então eles formam uma base de .
Passo 3
Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Calculando o determinante de :
Como , os vetores são linearmente independentes e formam uma base de .
Passo 5
Agora, vamos escrever cada vetor da base canônica , e como combinação linear de , e . Isso significa que precisamos encontrar coeficientes , e tais que:
para cada .
Passo 6
Vamos montar o sistema de equações para cada vetor canônico. Primeiro, para :
Isso nos dá o sistema:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Subtraia a primeira equação da segunda:
Subtraia a segunda equação da terceira:
Agora, subtraia a equação (2) da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Substituindo e na primeira equação original:
Então, a combinação linear para é:
Passo 8
Repetindo o processo para :
Subtraia a primeira equação da segunda:
Subtraia a segunda equação da terceira:
Subtraia a equação (4) da equação (3):
Substituindo na equação (3):
Substituindo e na primeira equação:
Então, a combinação linear para é:
Passo 9
Finalmente, para :
Subtraia a primeira equação da segunda:
Subtraia a segunda equação da terceira:
Subtraia a equação (5) da equação (6):
Substituindo na equação (5):
Substituindo e na primeira equação:
Então, a combinação linear para é:
Resposta
Os vetores , e formam uma base de . As combinações lineares dos vetores da base canônica são: