Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dada uma base de V definamos por .
a) Provar que A é uma matriz simétrica.
b) Mostrar que se e , então o produto escalar em pode ser expresso na forma matricial seguinte: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial euclidiano e uma base formada por . A matriz é definida por , onde é o produto escalar no espaço. Nosso objetivo aqui tem duas partes:
a) Provar que a matriz é simétrica.
b) Mostrar que para quaisquer vetores e escritos em termos dessa base, o produto escalar entre eles pode ser expresso como um produto matricial usando .
Vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e como o produto escalar funciona em termos de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos enfrentar a parte a): provar que a matriz é simétrica.
Uma matriz é considerada simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que o elemento na linha e coluna deve ser igual ao elemento na linha e coluna para todos e .
Passo 3
Vamos examinar os elementos de . Por definição, temos:
E para a transposta , o elemento na posição é:
Passo 4
Mas o produto escalar tem uma propriedade importante chamada simetria:
Isso significa que para todos e .
Passo 5
Como para todos os índices, concluímos que:
Portanto, a matriz é simétrica.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b): mostrar que para vetores e expressos na base , o produto escalar pode ser escrito como:
Onde e .
Passo 7
Vamos começar escrevendo o produto escalar . Substituindo as expressões de e :
Passo 8
Utilizando a propriedade distributiva do produto escalar, temos:
Lembrando que , podemos reescrever:
Passo 9
Agora, vamos entender a expressão matricial. O produto resulta em um vetor linha cujas componentes são:
Passo 10
Quando multiplicamos esse vetor linha pela transposta do vetor , que é , estamos efetivamente calculando:
Passo 11
Comparando com a expressão que encontramos para , vemos que são iguais:
Resposta
Portanto:
a) A matriz é simétrica porque para todos e .
b) O produto escalar entre quaisquer vetores e na base dada pode ser expresso como .