Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dada uma base de V definamos por .
a) Provar que A é uma matriz simétrica.
b) Mostrar que se e , então o produto escalar em pode ser expresso na forma matricial seguinte: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial euclidiano e uma base formada por . A matriz é definida por , onde é o produto escalar no espaço. Nosso objetivo aqui tem duas partes:
a) Provar que a matriz é simétrica.
b) Mostrar que para quaisquer vetores e escritos em termos dessa base, o produto escalar entre eles pode ser expresso como um produto matricial usando .
Vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e como o produto escalar funciona em termos de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos enfrentar a parte a): provar que a matriz é simétrica.
Uma matriz é considerada simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que o elemento na linha e coluna deve ser igual ao elemento na linha e coluna para todos e .

Passo 3

Vamos examinar os elementos de . Por definição, temos:
E para a transposta , o elemento na posição é:

Passo 4

Mas o produto escalar tem uma propriedade importante chamada simetria:
Isso significa que para todos e .

Passo 5

Como para todos os índices, concluímos que:
Portanto, a matriz é simétrica.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b): mostrar que para vetores e expressos na base , o produto escalar pode ser escrito como:
Onde e .

Passo 7

Vamos começar escrevendo o produto escalar . Substituindo as expressões de e :

Passo 8

Utilizando a propriedade distributiva do produto escalar, temos:
Lembrando que , podemos reescrever:

Passo 9

Agora, vamos entender a expressão matricial. O produto resulta em um vetor linha cujas componentes são:

Passo 10

Quando multiplicamos esse vetor linha pela transposta do vetor , que é , estamos efetivamente calculando:

Passo 11

Comparando com a expressão que encontramos para , vemos que são iguais:

Resposta

Portanto:
a) A matriz é simétrica porque para todos e .
b) O produto escalar entre quaisquer vetores e na base dada pode ser expresso como .

Exercícios relacionados

Dados os vetores e , calcular:
a)
b) .
Se e , determinar:
a)
b)
c) .
Verdadeiro ou falso? Justique.
A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto de suas transpostas.
Considere o espaço , de todas as sequências ordenadas com quatro números reais, e o conjunto com as operações usuais. Verifique se é subespaço de ou não.