Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dada uma base e1, ldots, en de V definamos A=(ai j) in Mn(R) por ai j=lang<= ej, ejrang<=(i, j=1, ldots, n).
a) Provar que A é uma matriz simétrica.
b) Mostrar que se u=sumi=1^n xi ei e v=sumi=1^n yi ei, então o produto escalar em V pode ser expresso na forma matricial seguinte: lang<= u, vrang<==(x1 x2 ldots xn) A(y1 y2 ldots yn)^t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial euclidiano e uma base formada por . A matriz é definida por , onde é o produto escalar no espaço. Nosso objetivo aqui tem duas partes:
a) Provar que a matriz é simétrica.
b) Mostrar que para quaisquer vetores e escritos em termos dessa base, o produto escalar entre eles pode ser expresso como um produto matricial usando .
Vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e como o produto escalar funciona em termos de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos enfrentar a parte a): provar que a matriz é simétrica.
Uma matriz é considerada simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que o elemento na linha e coluna deve ser igual ao elemento na linha e coluna para todos e .

Passo 3

Vamos examinar os elementos de aij = lang<= ei, ej rang<= . Por definição, temos:
aji = lang<= ej, ei rang<=
E para a transposta , o elemento na posição é:

Passo 4

Mas o produto escalar tem uma propriedade importante chamada simetria:
lang<= ei, ej rang<= = lang<= ej, ei rang<=
Isso significa que para todos e .

Passo 5

Como A = A^T para todos os índices, concluímos que:
Portanto, a matriz é simétrica.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b): mostrar que para vetores lang<= u, v rang<= = (x1 x2 ldots xn) , A , y1 y2 vdots yn e expressos na base , o produto escalar pode ser escrito como:
Onde e .

Passo 7

Vamos começar escrevendo o produto escalar lang<= u, v rang<= = lang<= sumi=1^n xi ei, sumj=1^n yj ej rang<= . Substituindo as expressões de e :

Passo 8

Utilizando a propriedade distributiva do produto escalar, temos:
lang<= u, v rang<= = sumi=1^n sumj=1^n xi yj lang<= ei, ej rang<=
Lembrando que lang<= u, v rang<= = sumi=1^n sumj=1^n xi yj aij , podemos reescrever:

Passo 9

Agora, vamos entender a expressão matricial. O produto sumi=1^n xi ai1, sumi=1^n xi ai2, ldots, sumi=1^n xi ain resulta em um vetor linha cujas componentes são:

Passo 10

Quando multiplicamos esse vetor linha pela transposta do vetor y1 y2 vdots yn , que é sumj=1^n ( sumi=1^n xi aij ) yj = sumi=1^n sumj=1^n xi yj aij , estamos efetivamente calculando:

Passo 11

Comparando com a expressão que encontramos para lang<= u, v rang<= = (x1 x2 ldots xn) , A , y1 y2 vdots yn , vemos que são iguais:

Resposta

Portanto:
a) A matriz y1 y2 vdots yn é simétrica porque para todos e .
b) O produto escalar entre quaisquer vetores e na base dada pode ser expresso como .

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