Considere o espaço , com o produto interno usual. Calcule o produto interno de e .
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para calcular o produto interno de duas funções no espaço , que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo de 0 a 1. O produto interno usual aqui envolve calcular a integral do produto dessas duas funções ao longo desse intervalo. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno nesse espaço. Para duas funções e , o produto interno é dado por:
Então, vamos substituir e nessa fórmula.
Passo 3
Substituindo as funções na expressão do produto interno:
Agora, precisamos calcular essa integral.
Passo 4
Para resolver a integral , podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar:
Substituindo na integral:
Passo 5
A integral de em relação a é bem conhecida:
Agora, voltamos à variável original :
Passo 6
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, aplicamos os limites: