Considere o espaço , com o produto interno usual. Calcule o produto interno de e .

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para calcular o produto interno de duas funções no espaço , que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo de 0 a 1. O produto interno usual aqui envolve calcular a integral do produto dessas duas funções ao longo desse intervalo. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno nesse espaço. Para duas funções e , o produto interno é dado por:
Então, vamos substituir e nessa fórmula.

Passo 3

Substituindo as funções na expressão do produto interno:
Agora, precisamos calcular essa integral.

Passo 4

Para resolver a integral , podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar:
Substituindo na integral:

Passo 5

A integral de em relação a é bem conhecida:
Agora, voltamos à variável original :

Passo 6

Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, aplicamos os limites:

Resposta

O produto interno de e no espaço é .

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Resolva o sistema:
Considere os vetores e . Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
O ângulo entre v e w é
As matrizes seguintes são as matrizes elementares :
Dadas as matrizes
Prove que é a inversa de .