Considere o espaço V=C^0[0,1], com o produto interno usual. Calcule o produto interno de u(x)=e^(x^2) e v(x)=x.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para calcular o produto interno de duas funções no espaço , que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo de 0 a 1. O produto interno usual aqui envolve calcular a integral do produto dessas duas funções ao longo desse intervalo. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno nesse espaço. Para duas funções lang<= u, v rang<= = integral0^1 u(x) cdot v(x) , dx e , o produto interno é dado por:
Então, vamos substituir e nessa fórmula.

Passo 3

Substituindo as funções na expressão do produto interno:
lang<= e^x^2, x rang<= = integral0^1 e^x^2 cdot x , dx
Agora, precisamos calcular essa integral.

Passo 4

Para resolver a integral u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx , podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar:
integral e^x^2 cdot x , dx = 12 integral e^u , du
Substituindo na integral:

Passo 5

A integral de 12 integral e^u , du = 12 e^u + C em relação a 12 e^x^2 + C é bem conhecida:
Agora, voltamos à variável original :

Passo 6

Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, aplicamos os limites:
12 e^x^2 |0^1 = 12 e^1^2 - 12 e^0^2 = 12 e - 12 cdot 1 = e - 12

Resposta

O produto interno de e no espaço é .

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