Considere os vetores u=i+-1 j+2 k, v=i+1 j e w=-1 i+2 j+1 k. Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
O ângulo entre v e w é 0^circ

Passo 1

O exercício pede para verificarmos se o ângulo entre os vetores v e w é de 0^circ. Vamos trabalhar com vetores no espaço tridimensional e usar conceitos de geometria vetorial para resolver isso. Para determinar o ângulo entre dois vetores, precisamos calcular o produto escalar e as magnitudes dos vetores envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores:
  • v = i + 1j
  • w = -1i + 2j + 1k

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre v e w. O produto escalar de dois vetores a = a1i + a2j + a3k e b = b1i + b2j + b3k é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
v cdot w = (1)(-1) + (1)(2) + (0)(1) = -1 + 2 + 0 = 1

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as magnitudes dos vetores v e w. A magnitude de um vetor a = a1i + a2j + a3k é:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Para o vetor v:
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2
Para o vetor w:
|w| = raiz(-1)^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = v cdot w|v| |w|
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = 1raiz2 times raiz6 = 1raiz12 = 12raiz3 approx 0,2887
Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(0,2887) approx 73,74^circ

Resposta

Falso. O ângulo entre v e w é aproximadamente 73,74^circ, não 0^circ.

Exercícios relacionados