Considere espaço vectorial das funções reais de variável real. Mostre que cada um dos seguintes conjuntos é linearmente dependente.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no conjunto . Queremos mostrar que esse conjunto é linearmente dependente no espaço vetorial das funções reais de variável real. Para isso, precisamos encontrar constantes que não sejam todas zero, de forma que:
Vamos usar a identidade trigonométrica para ajudar na resolução.
Passo 2
Substituindo a identidade trigonométrica na equação, temos:
Simplificando:
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes devem ser iguais a zero:
Passo 3
Resolvendo o sistema de equações:
Podemos escolher, por exemplo, . Então:
Passo 4
Agora, vamos analisar o conjunto . Queremos provar que ele é linearmente dependente. Isso significa que existe uma combinação linear não trivial dessas funções que resulte na função zero. Utilizaremos a identidade trigonométrica .
Passo 5
Vamos tentar expressar uma das funções em termos das outras. Usando a identidade:
Rearranjando:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 6
Vamos considerar o conjunto . Queremos mostrar que esse conjunto é linearmente dependente. Sabemos que é definido como .
Passo 7
Expressando em termos de e :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Rearranjando:
Isso pode ser escrito como:
Passo 8
Finalmente, vamos examinar o conjunto . Queremos demonstrar que este conjunto é linearmente dependente. Observamos que pode ser expandido.
Passo 9
Expandindo :
Então, podemos escrever:
Rearranjando:
Resposta
Todos os conjuntos apresentados nos itens a), b), c) e d) são linearmente dependentes no espaço vetorial das funções reais de variável real, conforme demonstrado em cada passo.