Considere espaço vectorial das funções reais de variável real. Mostre que cada um dos seguintes conjuntos é linearmente dependente.
ll a) 2, sin ^2(t), cos ^2(t) & b) cos (2 t), sin ^2(t), cos ^2(t) c) e^t, e^-t, cosh (t) & d) 1, t, t^2,(t+1)^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no conjunto c1 cdot 2 + c2 cdot sin^2(t) + c3 cdot cos^2(t) = 0 . Queremos mostrar que esse conjunto é linearmente dependente no espaço vetorial das funções reais de variável real. Para isso, precisamos encontrar constantes que não sejam todas zero, de forma que:
Vamos usar a identidade trigonométrica para ajudar na resolução.

Passo 2

Substituindo a identidade trigonométrica na equação, temos:
c1 cdot 2 + c2 cdot (1 - cos^2(t)) + c3 cdot cos^2(t) = 0
Simplificando:
2c1 + c2 + (c3 - c2) cdot cos^2(t) = 0
Para que essa igualdade valha para todo 2c1 + c2 = 0 , os coeficientes devem ser iguais a zero:
c3 - c2 = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema de equações:
  1. c1 = -c22 = -1
  2. c3 = c2 = 2
Podemos escolher, por exemplo, . Então:

Passo 4

Agora, vamos analisar o conjunto . Queremos provar que ele é linearmente dependente. Isso significa que existe uma combinação linear não trivial dessas funções que resulte na função zero. Utilizaremos a identidade trigonométrica .

Passo 5

Vamos tentar expressar uma das funções em termos das outras. Usando a identidade:
cos(2t) = cos^2(t) - sin^2(t)
Rearranjando:
cos(2t) + sin^2(t) - cos^2(t) = 0
Isso pode ser reescrito como:
1 cdot cos(2t) + 1 cdot sin^2(t) - 1 cdot cos^2(t) = 0

Passo 6

Vamos considerar o conjunto . Queremos mostrar que esse conjunto é linearmente dependente. Sabemos que é definido como .

Passo 7

Expressando cosh(t) = e^t + e^-t2 em termos de 2cosh(t) = e^t + e^-t e e^t + e^-t - 2cosh(t) = 0 :
1 cdot e^t + 1 cdot e^-t - 2 cdot cosh(t) = 0
Multiplicando ambos os lados por 2:
Rearranjando:
Isso pode ser escrito como:

Passo 8

Finalmente, vamos examinar o conjunto . Queremos demonstrar que este conjunto é linearmente dependente. Observamos que pode ser expandido.

Passo 9

Expandindo (t+1)^2 = t^2 + 2t + 1 :
t^2 + 2t + 1 - (t+1)^2 = 0
Então, podemos escrever:
1 cdot t^2 + 2 cdot t + 1 cdot 1 - 1 cdot (t+1)^2 = 0
Rearranjando:

Resposta

Todos os conjuntos apresentados nos itens a), b), c) e d) são linearmente dependentes no espaço vetorial das funções reais de variável real, conforme demonstrado em cada passo.

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