Mostre que em R^m quaisquer m vectores linearmente independentes constituem uma base de R^m. Mostre que em R^m quaisquer m geradores constituem uma base de R^m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar duas coisas em :
  1. Que quaisquer vetores linearmente independentes formam uma base de .
  2. Que quaisquer vetores que geram também formam uma base.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de linearmente independentes, geradores e base no contexto de espaços vetoriais. Vamos passo a passo para não ficar nenhuma dúvida.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira parte: mostrar que vetores linearmente independentes em formam uma base.
Linearmente Independentes: Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso significa que a única solução para a equação é .
Base: Uma base de é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 3

Agora, vamos provar que se temos vetores linearmente independentes em , eles formam uma base.
Sabemos que em , a dimensão do espaço é , o que significa que qualquer base deve ter exatamente vetores.
Como os vetores são linearmente independentes e contamos com o número máximo de vetores possíveis sem redundância (que é ), isso implica que eles também geram todo o espaço . Portanto, eles satisfazem as duas condições necessárias para formar uma base.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que vetores que geram formam uma base.
Geradores: Um conjunto de vetores gera se qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Queremos mostrar que se temos vetores que geram , eles também são linearmente independentes, e daí formam uma base.

Passo 5

Vamos supor que temos vetores que geram pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Agora, se esses vetores não fossem linearmente independentes, poderíamos remover um deles sem perder a capacidade de gerar todo o espaço, o que implicaria que o conjunto original tinha mais vetores do que o necessário, o que não é o caso, já que temos exatamente vetores, a dimensão de (\mathbb{R}^{m}}.
Portanto, esses vetores devem ser linearmente independentes.

Passo 6

Como temos vetores em que são linearmente independentes e que geram todo o espaço, podemos concluir que eles formam uma base de .

Resposta

Assim, mostramos que em , quaisquer vetores linearmente independentes ou que geram o espaço constituem uma base de .

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