Mostre que em R^m quaisquer m vectores linearmente independentes constituem uma base de R^m. Mostre que em R^m quaisquer m geradores constituem uma base de R^m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar duas coisas em :
  1. Que quaisquer vetores linearmente independentes formam uma base de .
  2. Que quaisquer vetores que geram também formam uma base.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de linearmente independentes, geradores e base no contexto de espaços vetoriais. Vamos passo a passo para não ficar nenhuma dúvida.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira parte: mostrar que vetores linearmente independentes em formam uma base.
Linearmente Independentes: Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso significa que a única solução para a equação é .
Base: Uma base de é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 3

Agora, vamos provar que se temos vetores linearmente independentes em , eles formam uma base.
Sabemos que em , a dimensão do espaço é , o que significa que qualquer base deve ter exatamente vetores.
Como os vetores são linearmente independentes e contamos com o número máximo de vetores possíveis sem redundância (que é ), isso implica que eles também geram todo o espaço . Portanto, eles satisfazem as duas condições necessárias para formar uma base.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que vetores que geram formam uma base.
Geradores: Um conjunto de vetores gera se qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Queremos mostrar que se temos vetores que geram , eles também são linearmente independentes, e daí formam uma base.

Passo 5

Vamos supor que temos vetores que geram pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Agora, se esses vetores não fossem linearmente independentes, poderíamos remover um deles sem perder a capacidade de gerar todo o espaço, o que implicaria que o conjunto original tinha mais vetores do que o necessário, o que não é o caso, já que temos exatamente vetores, a dimensão de (\mathbb{R}^{m}}.
Portanto, esses vetores devem ser linearmente independentes.

Passo 6

Como temos vetores em que são linearmente independentes e que geram todo o espaço, podemos concluir que eles formam uma base de .

Resposta

Assim, mostramos que em , quaisquer vetores linearmente independentes ou que geram o espaço constituem uma base de .

Exercícios relacionados

Determine os subespaços de R^3 gerados pelos conjuntos de vetores abaixo:
(i) A=(2,-1,3)
(ii) B=(-1,3,2),(2,-2,1
(iii) C=(1,0,1),(0,1,1),(-1,1,0)
Considere espaço vectorial das funções reais de variável real. Mostre que cada um dos seguintes conjuntos é linearmente dependente.
ll a) 2, sin ^2(t), cos ^2(t) & b) cos (2 t), sin ^2(t), cos ^2(t) c) e^t, e^-t, cosh (t) & d) 1, t, t^2,(t+1)^2
Sejam A=(0,1,2), M=(1,2,0) e B pontos de \mathbb{R}^{3}.
(a) Sabendo que M é ponto médio de \overline{A B}, determine B;
Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores quaisquer em \mathbb{R}^{3} e |\vec{u}|=1.
Calcule:
(a) |\vec{u}+\vec{v}|^{2} = |\vec{u}|^{2} + |\vec{v}|^{2}+2\langle\vec{u};\vec{v}\rangle$.