Mostre que em
quaisquer
vectores linearmente independentes constituem uma base de
. Mostre que em
quaisquer
geradores constituem uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar duas coisas em
:
- Que quaisquer
vetores linearmente independentes formam uma base de . - Que quaisquer
vetores que geram também formam uma base.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de linearmente independentes, geradores e base no contexto de espaços vetoriais. Vamos passo a passo para não ficar nenhuma dúvida.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira parte: mostrar que
vetores linearmente independentes em
formam uma base.
Linearmente Independentes: Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso significa que a única solução para a equação
é
.
Base: Uma base de
é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Passo 3
Agora, vamos provar que se temos
vetores linearmente independentes em
, eles formam uma base.
Sabemos que em
, a dimensão do espaço é
, o que significa que qualquer base deve ter exatamente
vetores.
Como os vetores são linearmente independentes e contamos com o número máximo de vetores possíveis sem redundância (que é
), isso implica que eles também geram todo o espaço
. Portanto, eles satisfazem as duas condições necessárias para formar uma base.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que
vetores que geram
formam uma base.
Geradores: Um conjunto de vetores gera
se qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Queremos mostrar que se temos
vetores que geram
, eles também são linearmente independentes, e daí formam uma base.
Passo 5
Vamos supor que temos
vetores que geram pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Agora, se esses vetores não fossem linearmente independentes, poderíamos remover um deles sem perder a capacidade de gerar todo o espaço, o que implicaria que o conjunto original tinha mais vetores do que o necessário, o que não é o caso, já que temos exatamente
vetores, a dimensão de (\mathbb{R}^{m}}.
Portanto, esses
vetores devem ser linearmente independentes.
Passo 6
Como temos
vetores em
que são linearmente independentes e que geram todo o espaço, podemos concluir que eles formam uma base de
.
Resposta
Assim, mostramos que em
, quaisquer
vetores linearmente independentes ou que geram o espaço constituem uma base de
.