Determine os subespaços de gerados pelos conjuntos de vetores abaixo:
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinarmos os subespaços de gerados por diferentes conjuntos de vetores. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e combinação linear. Para resolver, vamos precisar saber como identificar se um conjunto de vetores gera um subespaço e descobrir qual é esse subespaço.
Passo 2
Item (i)
Primeiro, temos apenas um vetor no conjunto . Vamos ver o que esse vetor gera.
Um subespaço gerado por um único vetor é todas as combinações lineares desse vetor. Como só temos um vetor, o subespaço será a linha que passa pela origem e nesse vetor.
Então, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como:
Isso significa que o subespaço é uma linha reta no espaço que passa pela origem e pelo ponto .
Passo 3
Item (ii)
Agora, temos dois vetores. Precisamos verificar se eles são linearmente independentes para determinar o subespaço que eles geram.
Vamos formar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante para ver se são independentes:
Como temos mais linhas que colunas, podemos verificar se um vetor é múltiplo do outro. Observando, vemos que não há um escalar lambda tal que (2, -2, 1) = lambda cdot (-1, 3, 2). Assim, os vetores são linearmente independentes.
Portanto, eles geram um plano no espaço R^3.
Qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como:
lambda cdot (-1, 3, 2) + mu cdot (2, -2, 1), onde lambda, mu in R
Passo 4
Item (iii) C=(1,0,1),(0,1,1),(-1,1,0)
Aqui, temos três vetores. Vamos verificar se eles são linearmente independentes.
O determinante é zero, o que significa que os vetores são linearmente dependentes. Portanto, eles não geram todo o R^3, mas um subespaço de menor dimensão.
Vamos ver qual é a dimensão deste subespaço. Removendo um dos vetores dependentes, por exemplo, (-1,1,0), verificamos se os dois primeiros são independentes, o que são. Assim, o subespaço gerado é um plano.
Qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como:
lambda cdot (1, 0, 1) + mu cdot (0, 1, 1), onde lambda, mu in R
Resposta
(i) O subespaço gerado por A é uma linha passando pela origem na direção de (2,-1,3).
(ii) O subespaço gerado por B é um plano no espaço R^3 formado pelas combinações lineares de (-1,3,2) e (2,-2,1).
(iii) O subespaço gerado por C é também um plano no espaço R^3, já que os vetores são linearmente dependentes e apenas dois deles são necessários para gerá-lo.