Determine os subespaços de R^3 gerados pelos conjuntos de vetores abaixo:
(i) A=(2,-1,3)
(ii) B=(-1,3,2),(2,-2,1
(iii) C=(1,0,1),(0,1,1),(-1,1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinarmos os subespaços de R^3 gerados por diferentes conjuntos de vetores. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e combinação linear. Para resolver, vamos precisar saber como identificar se um conjunto de vetores gera um subespaço e descobrir qual é esse subespaço.

Passo 2

Item (i) A=(2,-1,3)
Primeiro, temos apenas um vetor no conjunto A. Vamos ver o que esse vetor gera.
Um subespaço gerado por um único vetor é todas as combinações lineares desse vetor. Como só temos um vetor, o subespaço será a linha que passa pela origem e nesse vetor.
Então, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como:
lambda cdot (2, -1, 3), onde lambda in R
Isso significa que o subespaço é uma linha reta no espaço R^3 que passa pela origem e pelo ponto (2, -1, 3).

Passo 3

Item (ii) B=(-1,3,2),(2,-2,1)
Agora, temos dois vetores. Precisamos verificar se eles são linearmente independentes para determinar o subespaço que eles geram.
Vamos formar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante para ver se são independentes:
-1 & 2 3 & -2 2 & 1
Como temos mais linhas que colunas, podemos verificar se um vetor é múltiplo do outro. Observando, vemos que não há um escalar lambda tal que (2, -2, 1) = lambda cdot (-1, 3, 2). Assim, os vetores são linearmente independentes.
Portanto, eles geram um plano no espaço R^3.
Qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como:
lambda cdot (-1, 3, 2) + mu cdot (2, -2, 1), onde lambda, mu in R

Passo 4

Item (iii) C=(1,0,1),(0,1,1),(-1,1,0)
Aqui, temos três vetores. Vamos verificar se eles são linearmente independentes.
Montamos a matriz com esses vetores:
1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0
Calculando o determinante:
det = 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) - 0 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) + (-1) cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1 cdot (-1) - 0 + (-1) cdot (-1) = -1 + 1 = 0
O determinante é zero, o que significa que os vetores são linearmente dependentes. Portanto, eles não geram todo o R^3, mas um subespaço de menor dimensão.
Vamos ver qual é a dimensão deste subespaço. Removendo um dos vetores dependentes, por exemplo, (-1,1,0), verificamos se os dois primeiros são independentes, o que são. Assim, o subespaço gerado é um plano.
Qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como:
lambda cdot (1, 0, 1) + mu cdot (0, 1, 1), onde lambda, mu in R

Resposta

(i) O subespaço gerado por A é uma linha passando pela origem na direção de (2,-1,3).
(ii) O subespaço gerado por B é um plano no espaço R^3 formado pelas combinações lineares de (-1,3,2) e (2,-2,1).
(iii) O subespaço gerado por C é também um plano no espaço R^3, já que os vetores são linearmente dependentes e apenas dois deles são necessários para gerá-lo.

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