Sejam A=(1,1,0), B=(0,2,-1) e C=(0, x, 1) pontos em \mathbb{R}^{3}. Sabendo que
determine:
(b) A área de um paralelogramo de vértices A, B e C.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos três pontos no espaço tridimensional: A=(1,1,0), B=(0,2,-1) e C=(0,x,1). A gente sabe que a projeção do vetor AC sobre AB é igual ao vetor BA. Nosso objetivo aqui é encontrar a área do paralelogramo formado pelos vértices A, B e C.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, projeções e como calcular a área de um paralelogramo usando o produto vetorial. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores envolvidos. O vetor AB é dado por B - A, ou seja:
AB = B - A = (0-1, 2-1, -1-0) = (-1, 1, -1)
O vetor AC é dado por C - A:
AC = C - A = (0-1, x-1, 1-0) = (-1, x-1, 1)
Passo 3
Agora, precisamos entender o que significa a projeção de AC sobre AB ser igual a BA. A projeção de um vetor u sobre um vetor v é dada por:
projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v
Mas o enunciado diz que essa projeção é igual a BA, que é o vetor contrário de AB:
BA = -AB = (1, -1, 1)
Passo 4
Vamos igualar a projeção ao vetor BA:
( AC cdot AB|AB|^2 ) AB = BA
Primeiro, vamos calcular o produto escalar AC cdot AB:
AC cdot AB = (-1)(-1) + (x-1)(1) + (1)(-1) = 1 + x - 1 - 1 = x - 1
Agora, a norma de AB ao quadrado:
|AB|^2 = (-1)^2 + 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3
Passo 5
Substituindo esses valores na equação da projeção:
( x - 13 ) AB = BA
Isso significa que:
( x - 13 ) (-1, 1, -1) = (1, -1, 1)
Vamos igualar cada componente:
$ \left( \frac{x - 1}{3} \right) (-1) = 1 $
$ \left( \frac{x - 1}{3} \right) (1) = -1 $
$ \left( \frac{x - 1}{3} \right) (-1) = 1 $
Perceba que todas as equações dão a mesma informação. Vamos resolver a primeira:
( x - 13 ) (-1) = 1
Passo 6
Agora que encontramos o valor de x, que é -2, vamos determinar os vetores AB e AC com esse valor:
AB = (-1, 1, -1) AC = (-1, -2-1, 1) = (-1, -3, 1)
Passo 7
Para encontrar a área do paralelogramo formado por AB e AC, usamos o produto vetorial desses vetores. A área é igual à norma desse produto: