A matriz A=[cc6 & -8 -1 & -8], pode ser escrita como combinação linear do conjunto de vetores abaixo?
A1=[cc 4 & 0 -2 & -2 ], A2=[cc 1 & -1 2 & 3 ], A3=[ll 0 & 2 1 & 4 ]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz A e queremos saber se ela pode ser escrita como uma combinação linear de outras três matrizes: A1, A2 e A3. Isso significa que precisamos encontrar números (chamados de coeficientes) que, quando multiplicados por essas matrizes e somados, resultem na matriz A. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre combinação linear e resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação que representa a combinação linear:
A = x cdot A1 + y cdot A2 + z cdot A3
Aqui, x, y e z são os coeficientes que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, substituímos as matrizes dadas na equação:
[cc 6 & -8 -1 & -8 ] = x cdot [cc 4 & 0 -2 & -2 ] + y cdot [cc 1 & -1 2 & 3 ] + z cdot [cc 0 & 2 1 & 4 ]

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes nas matrizes:
[cc 6 & -8 -1 & -8 ] = [cc 4x & 0 -2x & -2x ] + [cc y & -y 2y & 3y ] + [cc 0 & 2z z & 4z ]

Passo 5

Agora, somamos as matrizes do lado direito:
[cc 4x + y & -y + 2z -2x + 2y + z & -2x + 3y + 4z ] = [cc 6 & -8 -1 & -8 ]

Passo 6

Isso nos dá um sistema de equações igualando cada posição da matriz:
  1. 4x + y = 6  (1ª posição)
  2. -y + 2z = -8  (2ª posição)
  3. -2x + 2y + z = -1  (3ª posição)
  4. -2x + 3y + 4z = -8  (4ª posição)

Passo 7

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
4x + y = 6 Rightarrow y = 6 - 4x

Passo 8

Substituímos y na segunda equação:
-y + 2z = -8 Rightarrow -(6 - 4x) + 2z = -8
Simplificando:
-6 + 4x + 2z = -8 Rightarrow 4x + 2z = -2 Rightarrow 2x + z = -1 (A)

Passo 9

Agora, substituímos y = 6 - 4x na terceira equação:
-2x + 2(6 - 4x) + z = -1
Simplificando:
-2x + 12 - 8x + z = -1 Rightarrow -10x + z = -13 Rightarrow z = 10x - 13 (B)

Passo 10

Vamos substituir z = 10x - 13 na equação (A):
2x + (10x - 13) = -1 Rightarrow 12x - 13 = -1 Rightarrow 12x = 12 Rightarrow x = 1

Passo 11

Com x = 1, encontramos y:
y = 6 - 4(1) = 6 - 4 = 2

Passo 12

E substituímos x = 1 em z = 10x - 13:
z = 10(1) - 13 = 10 - 13 = -3

Passo 13

Para confirmar, vamos verificar se esses valores satisfazem a quarta equação:
-2(1) + 3(2) + 4(-3) = -2 + 6 - 12 = -8
Como está correto, nossos valores de x, y e z são válidos.

Resposta

Sim, a matriz A pode ser escrita como A = 1 cdot A1 + 2 cdot A2 - 3 cdot A3.

Exercícios relacionados

Sejam A=(1,0,2), B=(-1,1,1), C=(0,1,-1) e D=(2,0,-2). Calcule:
(a) [\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}]-|\overrightarrow{A B}|
Considere em P2 (espaço dos polinómios com grau <= 2 ) o conjunto S=1+t, 1-t^2. O conjunto S gera P2 ?
Sejam A=(1,1,0), B=(0,2,-1) e C=(0, x, 1) pontos em \mathbb{R}^{3}. Sabendo que
proj A CA B=B A
determine:
(b) A área de um paralelogramo de vértices A, B e C.
Considere espaço vectorial das funções reais de variável real. Mostre que cada um dos seguintes conjuntos é linearmente dependente.
ll a) 2, sin ^2(t), cos ^2(t) & b) cos (2 t), sin ^2(t), cos ^2(t) c) e^t, e^-t, cosh (t) & d) 1, t, t^2,(t+1)^2