A matriz
, pode ser escrita como combinação linear do conjunto de vetores abaixo?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz
e queremos saber se ela pode ser escrita como uma combinação linear de outras três matrizes:
,
e
. Isso significa que precisamos encontrar números (chamados de coeficientes) que, quando multiplicados por essas matrizes e somados, resultem na matriz
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre combinação linear e resolução de sistemas de equações.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a equação que representa a combinação linear:
Aqui,
,
e
são os coeficientes que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, substituímos as matrizes dadas na equação:
Passo 4
Vamos distribuir os coeficientes nas matrizes:
Passo 5
Agora, somamos as matrizes do lado direito:
Passo 6
Isso nos dá um sistema de equações igualando cada posição da matriz:
-
(1ª posição) -
(2ª posição) -
(3ª posição) -
(4ª posição)
Passo 7
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
Passo 8
Substituímos
na segunda equação:
Simplificando:
Passo 9
Agora, substituímos
na terceira equação:
Simplificando:
Passo 10
Vamos substituir
na equação
:
Passo 11
Com
, encontramos
:
Passo 12
E substituímos
em
:
Passo 13
Para confirmar, vamos verificar se esses valores satisfazem a quarta equação:
Como está correto, nossos valores de
,
e
são válidos.
Resposta
Sim, a matriz
pode ser escrita como
.