Mostre que é uma base para . Depois encontre a as coordenadas de nesta base; isto é, determine .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto é uma base para o espaço tridimensional . Depois, vamos encontrar as coordenadas do vetor nessa base, ou seja, determinar .

Passo 2

Para mostrar que é uma base de , precisamos verificar duas coisas: se os vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço . Se esses dois pontos estiverem ok, então sim, é uma base.

Passo 3

Vamos verificar a independência linear dos vetores de . Isso significa que queremos ver se a única solução para a combinação linear é .

Passo 4

Escrevendo as equações:
Da terceira equação, temos . Substituindo na segunda equação: . Da primeira equação: . Resolvendo esse sistema, encontramos e, consequentemente, . Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos três vetores linearmente independentes em , isso implica que eles geram todo o espaço, pois o número de vetores é igual à dimensão do espaço. Portanto, é uma base de .

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor na base . Isso significa que queremos encontrar números , , tais que:

Passo 7

Isso se traduz no seguinte sistema de equações:

Passo 8

Da terceira equação, já sabemos que . Substituindo esse valor na segunda equação: . E na primeira equação: .

Passo 9

Agora, temos:
Subtraindo a primeira da segunda: . Então, .

Resposta

Portanto, as coordenadas do vetor na base são .

Exercícios relacionados

Seja . Defina
  • adição: se e , então ;
  • multiplicação por escalar: se , então .
    Quais das propriedades na definição de espaço vetorial não são válidas para com essas operações?
Considere o Espaço Vetorial :
  • Como se definem as operações de adição e de multiplicação por escalar neste espaço?
  • Qual a interpretação geométrica dessas operações. Dê exemplos.
Sabendo que é outra base de , encontre, para usando mudança de base. Deixe explícito todas as matrizes de mudança de base que utilizar.
Dadas as matrizes , e , calcule.
.