Mostre que beta1=(1,1,0),(1,2,0),(1,2,1) é uma base para E^3. Depois encontre a as coordenadas de v=(1,-1,1) nesta base; isto é, determine [v]beta1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto beta1 = (1,1,0),(1,2,0),(1,2,1) é uma base para o espaço tridimensional E^3. Depois, vamos encontrar as coordenadas do vetor v = (1,-1,1) nessa base, ou seja, determinar [v]beta1.

Passo 2

Para mostrar que beta1 é uma base de E^3, precisamos verificar duas coisas: se os vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço E^3. Se esses dois pontos estiverem ok, então sim, beta1 é uma base.

Passo 3

Vamos verificar a independência linear dos vetores de beta1. Isso significa que queremos ver se a única solução para a combinação linear a(1,1,0) + b(1,2,0) + c(1,2,1) = (0,0,0) é a = b = c = 0.

Passo 4

Escrevendo as equações:
a + b + c = 0 a + 2b + 2c = 0 0a + 0b + c = 0
Da terceira equação, temos c = 0. Substituindo na segunda equação: a + 2b = 0. Da primeira equação: a + b = 0. Resolvendo esse sistema, encontramos b = 0 e, consequentemente, a = 0. Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos três vetores linearmente independentes em E^3, isso implica que eles geram todo o espaço, pois o número de vetores é igual à dimensão do espaço. Portanto, beta1 é uma base de E^3.

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor v = (1,-1,1) na base beta1. Isso significa que queremos encontrar números a, b, c tais que:
a(1,1,0) + b(1,2,0) + c(1,2,1) = (1,-1,1)

Passo 7

Isso se traduz no seguinte sistema de equações:
a + b + c = 1 a + 2b + 2c = -1 0a + 0b + c = 1

Passo 8

Da terceira equação, já sabemos que c = 1. Substituindo esse valor na segunda equação: a + 2b + 2 = -1 Rightarrow a + 2b = -3. E na primeira equação: a + b + 1 = 1 Rightarrow a + b = 0.

Passo 9

Agora, temos:
a + b = 0 a + 2b = -3
Subtraindo a primeira da segunda: (a + 2b) - (a + b) = -3 - 0 Rightarrow b = -3. Então, a = 3.

Resposta

Portanto, as coordenadas do vetor v = (1,-1,1) na base beta1 são [v]beta1 = (3,-3,1).

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