Mostre que é uma base para . Depois encontre a as coordenadas de nesta base; isto é, determine .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto é uma base para o espaço tridimensional . Depois, vamos encontrar as coordenadas do vetor nessa base, ou seja, determinar .
Passo 2
Para mostrar que é uma base de , precisamos verificar duas coisas: se os vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço . Se esses dois pontos estiverem ok, então sim, é uma base.
Passo 3
Vamos verificar a independência linear dos vetores de . Isso significa que queremos ver se a única solução para a combinação linear é .
Passo 4
Escrevendo as equações:
Da terceira equação, temos c = 0. Substituindo na segunda equação: a + 2b = 0. Da primeira equação: a + b = 0. Resolvendo esse sistema, encontramos b = 0 e, consequentemente, a = 0. Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como temos três vetores linearmente independentes em E^3, isso implica que eles geram todo o espaço, pois o número de vetores é igual à dimensão do espaço. Portanto, beta1 é uma base de E^3.
Passo 6
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor v = (1,-1,1) na base beta1. Isso significa que queremos encontrar números a, b, c tais que:
a(1,1,0) + b(1,2,0) + c(1,2,1) = (1,-1,1)
Passo 7
Isso se traduz no seguinte sistema de equações:
a + b + c = 1 a + 2b + 2c = -1 0a + 0b + c = 1
Passo 8
Da terceira equação, já sabemos que c = 1. Substituindo esse valor na segunda equação: a + 2b + 2 = -1Rightarrowa + 2b = -3. E na primeira equação: a + b + 1 = 1Rightarrowa + b = 0.
Passo 9
Agora, temos:
a + b = 0 a + 2b = -3
Subtraindo a primeira da segunda: (a + 2b) - (a + b) = -3 - 0Rightarrowb = -3. Então, a = 3.
Resposta
Portanto, as coordenadas do vetor v = (1,-1,1) na base beta1 são [v]beta1 = (3,-3,1).