Mostre que é uma base para . Depois encontre a as coordenadas de nesta base; isto é, determine .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto é uma base para o espaço tridimensional . Depois, vamos encontrar as coordenadas do vetor nessa base, ou seja, determinar .
Passo 2
Para mostrar que é uma base de , precisamos verificar duas coisas: se os vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço . Se esses dois pontos estiverem ok, então sim, é uma base.
Passo 3
Vamos verificar a independência linear dos vetores de . Isso significa que queremos ver se a única solução para a combinação linear é .
Passo 4
Escrevendo as equações:
Da terceira equação, temos . Substituindo na segunda equação: . Da primeira equação: . Resolvendo esse sistema, encontramos e, consequentemente, . Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como temos três vetores linearmente independentes em , isso implica que eles geram todo o espaço, pois o número de vetores é igual à dimensão do espaço. Portanto, é uma base de .
Passo 6
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor na base . Isso significa que queremos encontrar números , , tais que:
Passo 7
Isso se traduz no seguinte sistema de equações:
Passo 8
Da terceira equação, já sabemos que . Substituindo esse valor na segunda equação: . E na primeira equação: .