Considere o espaço vetorial P3(R).
(b) Encontre as coordenadas do polinômio p(t)=2-3 t+t^2+2 t^3 em relação a base B.

Passo 1

Beleza, temos um exercício de Álgebra Linear que fala sobre espaços vetoriais, especificamente o espaço dos polinômios de grau no máximo 3, denotado por P3(R). O objetivo aqui é encontrar as coordenadas do polinômio p(t) = 2 - 3t + t^2 + 2t^3 em relação a uma base B desse espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar um polinômio em termos dos vetores que compõem a base B.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base de P3(R) é um conjunto de polinômios que são linearmente independentes e que qualquer polinômio do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses polinômios. Supondo que a base B seja a base padrão, ou seja, B = 1, t, t^2, t^3, onde cada elemento é um polinômio de grau 0, 1, 2 e 3 respectivamente.

Passo 3

Com a base B definida, queremos expressar o polinômio p(t) como uma combinação linear dos elementos de B. Isso significa que:
p(t) = a cdot 1 + b cdot t + c cdot t^2 + d cdot t^3
Aqui, a, b, c e d são os coeficientes que precisamos encontrar. Nosso objetivo é encontrar esses valores para determinar as coordenadas do polinômio em relação à base B.

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos mesmos graus de p(t) e da combinação linear:
2 - 3t + t^2 + 2t^3 = a cdot 1 + b cdot t + c cdot t^2 + d cdot t^3
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a = 2 b = -3 c = 1 d = 2

Resposta

As coordenadas do polinômio p(t) = 2 - 3t + t^2 + 2t^3 em relação à base B = 1, t, t^2, t^3 são (2,, -3,, 1,, 2).

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