Considere o espaço vetorial .
(b) Encontre as coordenadas do polinômio em relação a base .

Passo 1

Beleza, temos um exercício de Álgebra Linear que fala sobre espaços vetoriais, especificamente o espaço dos polinômios de grau no máximo 3, denotado por . O objetivo aqui é encontrar as coordenadas do polinômio em relação a uma base desse espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar um polinômio em termos dos vetores que compõem a base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base de é um conjunto de polinômios que são linearmente independentes e que qualquer polinômio do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses polinômios. Supondo que a base seja a base padrão, ou seja, , onde cada elemento é um polinômio de grau 0, 1, 2 e 3 respectivamente.

Passo 3

Com a base definida, queremos expressar o polinômio como uma combinação linear dos elementos de . Isso significa que:
Aqui, , , e são os coeficientes que precisamos encontrar. Nosso objetivo é encontrar esses valores para determinar as coordenadas do polinômio em relação à base .

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos mesmos graus de e da combinação linear:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Resposta

As coordenadas do polinômio em relação à base são .

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