Dê exemplo de uma série
convergente e de uma sequência limitada
tais que a série
seja divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você está pedindo para encontrar um exemplo de uma série
que seja convergente e, junto com isso, uma sequência limitada
tal que a série formada pelos produtos desses termos,
, seja divergente. Vamos usar conceitos de séries convergentes e sequências limitadas para chegar a essa resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher uma série
que seja convergente. Uma série famosa que converge é a série alternada harmônica, que é
. Essa série converge por causa do teste da série alternada, que diz que se os termos diminuem em valor absoluto e tendem a zero, a série alternada converge.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma sequência
que seja limitada. Uma sequência limitada é aquela cujos termos não saem de um certo intervalo. Um exemplo simples de sequência limitada é
, onde cada termo é
ou
. Claramente, todos os termos dessa sequência estão entre
e
, então ela é limitada.
Passo 4
Agora, vamos analisar a série formada pelos produtos
. Nesse caso, temos:
Simplificando, vemos que
é a série harmônica, que é conhecida por ser divergente. Ou seja, apesar de
ser convergente e
ser limitada, a série dos produtos
não converge.
Passo 5
Então, resumindo, escolhemos:
- A série
, que é convergente. - A sequência
, que é limitada.
Com esses exemplos, a série
é divergente.
Resposta
Um exemplo é a série
, que é convergente, e a sequência limitada
. A série formada pelos produtos,
, é divergente.
Exercícios relacionados
Temos que
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 2. Seja
a aplicação derivada, i.e.,
é a derivada de h. Escolha uma base ordenada para
e calcule
nesta base. Calcule o polinômio característico de
. D é diagonalizável?
Suponha que
e
sejam séries convergentes. Prove que a série
é absolutamente convergente.
Considere o espaço vetorial
.
(b) Encontre as coordenadas do polinômio em relação a base
.
(b) Encontre as coordenadas do polinômio
A matriz A abaixo tem base de autovetores? Porque?