Dê exemplo de uma série sumn=1^+infty an convergente e de uma sequência limitada xnn in N tais que a série sumn=1^+infty an xn seja divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você está pedindo para encontrar um exemplo de uma série que seja convergente e, junto com isso, uma sequência limitada tal que a série formada pelos produtos desses termos, , seja divergente. Vamos usar conceitos de séries convergentes e sequências limitadas para chegar a essa resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher uma série que seja convergente. Uma série famosa que converge é a série alternada harmônica, que é . Essa série converge por causa do teste da série alternada, que diz que se os termos diminuem em valor absoluto e tendem a zero, a série alternada converge.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma sequência que seja limitada. Uma sequência limitada é aquela cujos termos não saem de um certo intervalo. Um exemplo simples de sequência limitada é , onde cada termo é ou . Claramente, todos os termos dessa sequência estão entre e , então ela é limitada.

Passo 4

Agora, vamos analisar a série formada pelos produtos sumn=1^+infty an xn = sumn=1^+infty (-1)^nn cdot (-1)^n = sumn=1^+infty 1n . Nesse caso, temos:
Simplificando, vemos que é a série harmônica, que é conhecida por ser divergente. Ou seja, apesar de ser convergente e ser limitada, a série dos produtos não converge.

Passo 5

Então, resumindo, escolhemos:
  • A série , que é convergente.
  • A sequência , que é limitada.
Com esses exemplos, a série é divergente.

Resposta

Um exemplo é a série , que é convergente, e a sequência limitada . A série formada pelos produtos, , é divergente.

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