A matriz A abaixo tem base de autovetores? Porque?

Passo 1

Vamos analisar se a matriz fornecida possui uma base de autovetores. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e autovetores. Precisaremos entender o que são autovalores, autovetores e como determinar se eles formam uma base para o espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada , um vetor não nulo é chamado de autovetor se existir um número tal que:
O número é chamado de autovalor correspondente ao autovetor .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz . Como é a matriz zero de ordem 5, ou seja:
O polinômio característico de é dado por:
Isso significa que o único autovalor de é com multiplicidade algébrica 5.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar os autovetores correspondentes a . A equação simplifica-se para:
Como é a matriz zero, essa equação é satisfeita por qualquer vetor em . Portanto, o conjunto de autovetores para é todo o espaço .

Passo 5

Para que a matriz tenha uma base de autovetores, precisamos que a soma das dimensões dos espaços próprios (espaços dos autovetores) seja igual à dimensão do espaço vetorial, que neste caso é 5. Como todos os vetores de são autovetores, podemos escolher 5 vetores linearmente independentes que formam uma base para .

Passo 6

Portanto, é possível selecionar uma base composta por autovetores de . Por exemplo, podemos escolher os vetores canônicos , que são linearmente independentes e todos satisfazem .

Resposta

Sim, a matriz possui uma base de autovetores, pois todos os vetores de são autovetores correspondentes ao autovalor zero, permitindo a formação de uma base composta por 5 vetores linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Considere o espaço vetorial .
(b) Encontre as coordenadas do polinômio em relação a base .
Dê exemplo de uma série convergente e de uma sequência limitada tais que a série seja divergente.
Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série:
Seja uma base para o espaço vetorial das matrizes reais simétrica . Encontre as coordenadas da matriz em relação à base , onde:
(a)