Temos que
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 2. Seja
a aplicação derivada, i.e.,
é a derivada de h. Escolha uma base ordenada para
e calcule
nesta base. Calcule o polinômio característico de
. D é diagonalizável?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um espaço vetorial formado por combinações lineares de cosseno e seno, ou seja, funções do tipo
, onde
e
são números reais. A matéria principal aqui é álgebra linear, especificamente aplicações lineares, bases, matrizes de transformações lineares, polinômios característicos e diagonalização. Para resolver, vamos precisar escolher uma base para esse espaço, encontrar a matriz que representa a derivada nessa base, calcular seu polinômio característico e verificar se essa matriz é diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma base para o espaço
. Como
é formado por
e tem dimensão 2, uma base natural seria
. Assim, qualquer função no espaço pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas funções.
Passo 3
Agora, vamos definir a aplicação linear
, que é a derivada. Isso significa que
é a derivada de
. Precisamos ver como
age sobre os elementos da base:
Passo 4
Com isso, podemos montar a matriz de
na base que escolhemos. Lembrando que cada coluna da matriz corresponde à imagem de um vetor da base, escrita em termos da base. Então:
- A imagem de
é , que na base é representada por . - A imagem de
é , que é .
Portanto, a matriz de
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico
é dado por
, onde
é a matriz e
é a matriz identidade.
Então,
O determinante é:
Portanto, o polinômio característico é
.
Passo 6
Para saber se
é diagonalizável, precisamos ver se a matriz tem um conjunto completo de vetores próprios, ou seja, se possui duas soluções distintas para os valores próprios.
Vamos resolver
:
Os valores próprios são
e
, que são números complexos. Como estamos trabalhando sobre o campo dos números reais
, esses valores próprios não são reais. Portanto, a matriz de
não possui uma base de vetores próprios reais e, consequentemente, não é diagonalizável sobre
.
Resposta
Escolhemos a base
. A matriz de
nessa base é:
Seu polinômio característico é
, e
não é diagonalizável sobre os números reais.
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Suponha que
e
sejam séries convergentes. Prove que a série
é absolutamente convergente.
Suponha que
seja uma série convergente. Assuma que
, para todo
. Mostre que: A série
é absolutamente convergente, para todo
;
Dê exemplo de uma série
convergente e de uma sequência limitada
tais que a série
seja divergente.
Considere o espaço vetorial
.
(b) Encontre as coordenadas do polinômio em relação a base
.
(b) Encontre as coordenadas do polinômio