Temos que é um espaço vetorial sobre com dimensão 2. Seja a aplicação derivada, i.e., é a derivada de h. Escolha uma base ordenada para e calcule nesta base. Calcule o polinômio característico de . D é diagonalizável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um espaço vetorial formado por combinações lineares de cosseno e seno, ou seja, funções do tipo , onde e são números reais. A matéria principal aqui é álgebra linear, especificamente aplicações lineares, bases, matrizes de transformações lineares, polinômios característicos e diagonalização. Para resolver, vamos precisar escolher uma base para esse espaço, encontrar a matriz que representa a derivada nessa base, calcular seu polinômio característico e verificar se essa matriz é diagonalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma base para o espaço . Como é formado por e tem dimensão 2, uma base natural seria . Assim, qualquer função no espaço pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas funções.

Passo 3

Agora, vamos definir a aplicação linear , que é a derivada. Isso significa que é a derivada de . Precisamos ver como age sobre os elementos da base:

Passo 4

Com isso, podemos montar a matriz de na base que escolhemos. Lembrando que cada coluna da matriz corresponde à imagem de um vetor da base, escrita em termos da base. Então:
  • A imagem de é , que na base é representada por .
  • A imagem de é , que é .
Portanto, a matriz de é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico é dado por , onde é a matriz e é a matriz identidade.
Então,
O determinante é:
Portanto, o polinômio característico é .

Passo 6

Para saber se é diagonalizável, precisamos ver se a matriz tem um conjunto completo de vetores próprios, ou seja, se possui duas soluções distintas para os valores próprios.
Vamos resolver :
Os valores próprios são e , que são números complexos. Como estamos trabalhando sobre o campo dos números reais , esses valores próprios não são reais. Portanto, a matriz de não possui uma base de vetores próprios reais e, consequentemente, não é diagonalizável sobre .

Resposta

Escolhemos a base . A matriz de nessa base é:
Seu polinômio característico é , e não é diagonalizável sobre os números reais.

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(b) Encontre as coordenadas do polinômio em relação a base .