Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série: 52 cdot 3+53 cdot 4+54 cdot 5+55 cdot 6+ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência de frações: 52 cdot 3 + 53 cdot 4 + 54 cdot 5 + 55 cdot 6 + ldots. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o termo geral dessa série e escrevê-la usando a notação de série. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e séries, especialmente a identificação de padrões nos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os denominadores: 2 cdot 3, 3 cdot 4, 4 cdot 5, 5 cdot 6, e assim por diante. Dá pra ver que cada denominador é o produto de dois números consecutivos. Se a gente chamar o primeiro número desses dois de (n), o segundo será (n + 1). Assim, o denominador geral fica (n) cdot (n + 1).

Passo 3

Agora, observamos que o numerador de todas as frações é sempre 5. Então, podemos escrever o termo geral como 5n(n + 1).

Passo 4

Para escrever a série inteira usando a notação de série, precisamos definir de onde o índice n começa. Observando os denominadores, o primeiro termo tem 2 cdot 3, então se n = 2, temos o primeiro denominador. Portanto, nosso índice começa em n = 2.

Resposta

A série pode ser escrita como:
sumn=2^infty 5n(n + 1)

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