Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência de frações: . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o termo geral dessa série e escrevê-la usando a notação de série. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e séries, especialmente a identificação de padrões nos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os denominadores: , , , , e assim por diante. Dá pra ver que cada denominador é o produto de dois números consecutivos. Se a gente chamar o primeiro número desses dois de , o segundo será . Assim, o denominador geral fica .

Passo 3

Agora, observamos que o numerador de todas as frações é sempre . Então, podemos escrever o termo geral como .

Passo 4

Para escrever a série inteira usando a notação de série, precisamos definir de onde o índice começa. Observando os denominadores, o primeiro termo tem , então se , temos o primeiro denominador. Portanto, nosso índice começa em .

Resposta

A série pode ser escrita como:

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(a)
Seja . Determine se a série é convergente.