Considere o espaço vetorial P3 formado pelos polinômios a=a(x)= a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3 e as operações clássicas de adição e multiplicação por escalar. Verifique se o conjunto W=a in P3 mid a(0)=2 a(1) é um subespaço de P3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com o espaço vetorial , que é formado por todos os polinômios de grau no máximo 3. O conjunto é definido como todos os polinômios em que satisfazem a condição . Queremos verificar se é um subespaço de .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial:
  1. O conjunto deve conter o vetor zero.
  2. Deve ser fechado sob adição.
  3. Deve ser fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada um desses pontos passo a passo.

Passo 2

Verificar se o vetor zero está em a(0) = 0 :
O vetor zero em 2a(1) = 2 times 0 = 0 é o polinômio . Vamos verificar se ele atende à condição de .
Calculando:
Como (0 = 0), o vetor zero está em .

Passo 3

Verificar a fechamento sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer a(0) = 2a(1) e b(0) = 2b(1) em (a + b)(0) = a(0) + b(0) = 2a(1) + 2b(1) = 2(a(1) + b(1)) , ou seja:
2(a + b)(1) = 2a(1) + 2b(1)
Queremos ver se também está em .
Calculando:
Como , a soma pertence a . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Verificar a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio (c cdot a)(0) = c cdot a(0) = c cdot 2a(1) = 2 cdot c cdot a(1) em 2(c cdot a)(1) = 2 cdot c cdot a(1) e um escalar . Queremos verificar se também está em .
Calculando:
Como , o polinômio pertence a . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto satisfaz todos os critérios de um subespaço vetorial — contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar — podemos concluir que é um subespaço de .

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