Considere o espaço vetorial
formado pelos polinômios
e as operações clássicas de adição e multiplicação por escalar. Verifique se o conjunto
é um subespaço de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com o espaço vetorial
, que é formado por todos os polinômios de grau no máximo 3. O conjunto
é definido como todos os polinômios
em
que satisfazem a condição
. Queremos verificar se
é um subespaço de
.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial:
- O conjunto deve conter o vetor zero.
- Deve ser fechado sob adição.
- Deve ser fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada um desses pontos passo a passo.
Passo 2
Verificar se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é o polinômio
. Vamos verificar se ele atende à condição de
.
Calculando:
Como
(0 = 0), o vetor zero está em
.
Passo 3
Verificar a fechamento sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer
e
em
, ou seja:
Queremos ver se
também está em
.
Calculando:
Como
, a soma
pertence a
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Verificar a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio
em
e um escalar
. Queremos verificar se
também está em
.
Calculando:
Como
, o polinômio
pertence a
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
satisfaz todos os critérios de um subespaço vetorial — contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar — podemos concluir que
é um subespaço de
.