Encontrar as equações (vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida) da reta t que passa pelo ponto e tem como vetor-direção .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta que passa pelo ponto e tem como vetor-direção . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional. Precisaremos entender as formas vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida das equações de uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta que passa por um ponto e tem vetor-direção é dada por:
Onde é um parâmetro real.

Passo 3

Aplicando os valores do exercício, temos que o ponto tem coordenadas e o vetor-direção . Substituindo na fórmula:

Passo 4

A seguir, vamos separar as componentes para obter as equações paramétricas. Cada componente da reta pode ser escrita como:
Aqui, é o parâmetro que varia nos números reais.

Passo 5

Para encontrar as equações simétricas, resolvemos cada equação paramétrica para e igualamos todas elas:
Essa forma elimina o parâmetro e relaciona diretamente as coordenadas , e .

Passo 6

Por fim, a equação reduzida da reta pode ser expressa de forma compacta usando as frações das diferenças das coordenadas divididas pelos componentes do vetor-direção:
Essa é a mesma que as equações simétricas, apenas escrita de maneira mais direta.

Resposta

As equações da reta são:
  • Equação Vetorial:
  • Equações Paramétricas:
  • Equações Simétricas:
  • Equação Reduzida:

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(a) ;
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Efetuar