Encontrar as equações (vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida) da reta t que passa pelo ponto A(2,-1,3) e tem como vetor-direção v=(3,4,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta que passa pelo ponto e tem como vetor-direção . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional. Precisaremos entender as formas vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida das equações de uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta que passa por um ponto r = A + t,v e tem vetor-direção é dada por:
Onde é um parâmetro real.

Passo 3

Aplicando os valores do exercício, temos que o ponto r = (2, -1, 3) + t,(3, 4, 2) tem coordenadas e o vetor-direção . Substituindo na fórmula:

Passo 4

A seguir, vamos separar as componentes para obter as equações paramétricas. Cada componente da reta pode ser escrita como:
x = 2 + 3t y = -1 + 4t z = 3 + 2t
Aqui, é o parâmetro que varia nos números reais.

Passo 5

Para encontrar as equações simétricas, resolvemos cada equação paramétrica para t = x - 23 = y + 14 = z - 32 e igualamos todas elas:
Essa forma elimina o parâmetro e relaciona diretamente as coordenadas , e .

Passo 6

Por fim, a equação reduzida da reta pode ser expressa de forma compacta usando as frações das diferenças das coordenadas divididas pelos componentes do vetor-direção:
x - 23 = y + 14 = z - 32
Essa é a mesma que as equações simétricas, apenas escrita de maneira mais direta.

Resposta

As equações da reta r = (2, -1, 3) + t,(3, 4, 2) são:
  • Equação Vetorial:
    x = 2 + 3t y = -1 + 4t z = 3 + 2t
  • Equações Paramétricas:
    x - 23 = y + 14 = z - 32
  • Equações Simétricas:
    x - 23 = y + 14 = z - 32
  • Equação Reduzida:

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