Encontrar as equações (vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida) da reta t que passa pelo ponto e tem como vetor-direção .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta que passa pelo ponto e tem como vetor-direção . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional. Precisaremos entender as formas vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida das equações de uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta que passa por um ponto e tem vetor-direção é dada por:
Onde é um parâmetro real.
Passo 3
Aplicando os valores do exercício, temos que o ponto tem coordenadas e o vetor-direção . Substituindo na fórmula:
Passo 4
A seguir, vamos separar as componentes para obter as equações paramétricas. Cada componente da reta pode ser escrita como:
Aqui, é o parâmetro que varia nos números reais.
Passo 5
Para encontrar as equações simétricas, resolvemos cada equação paramétrica para e igualamos todas elas:
Essa forma elimina o parâmetro e relaciona diretamente as coordenadas , e .
Passo 6
Por fim, a equação reduzida da reta pode ser expressa de forma compacta usando as frações das diferenças das coordenadas divididas pelos componentes do vetor-direção:
Essa é a mesma que as equações simétricas, apenas escrita de maneira mais direta.