Nos problemas de 2 a 4, determinar uma equação geral do plano dada a equação geral do plano , e determinar um sistema de equações paramétricas de .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação geral de um plano, , e precisamos encontrar uma outra forma dessa equação e também montar um sistema de equações paramétricas que representem o mesmo plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos e parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar a equação geral do plano que já temos: . Essa forma nos dá informações sobre a orientação do plano no espaço através do vetor normal , que é perpendicular ao plano.
Passo 3
Para montar o sistema de equações paramétricas, precisamos identificar um ponto que esteja no plano e dois vetores que fiquem dentro do plano. Esses vetores serão usados para descrever todas as posições possíveis no plano usando parâmetros.
Passo 4
Vamos encontrar um ponto no plano. Podemos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, se escolhermos e , a equação fica:
Então, um ponto no plano é .
Passo 5
Agora, vamos encontrar dois vetores diretores no plano. Para isso, vamos escolher mais dois pontos no plano e calcular a diferença de coordenadas deles com o ponto que encontramos.
Escolha 1: Se e , então:
Portanto, outro ponto é .
Escolha 2: Se e , então:
Assim, temos o ponto .
Passo 6
Os vetores diretores são:
Esses vetores estão no plano e vão nos ajudar a montar as equações paramétricas.
Passo 7
Agora, vamos montar o sistema de equações paramétricas usando o ponto e os vetores diretores e .
As equações ficam:
Onde e são parâmetros que indicam as diferentes posições no plano.