Nos problemas de 2 a 4, determinar uma equação geral do plano dada a equação geral do plano pi: 3 x-2 y-z-6=0, e determinar um sistema de equações paramétricas de pi.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação geral de um plano, pi: 3x - 2y - z - 6 = 0, e precisamos encontrar uma outra forma dessa equação e também montar um sistema de equações paramétricas que representem o mesmo plano pi. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos e parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a equação geral do plano que já temos: 3x - 2y - z - 6 = 0. Essa forma nos dá informações sobre a orientação do plano no espaço através do vetor normal (3, -2, -1), que é perpendicular ao plano.

Passo 3

Para montar o sistema de equações paramétricas, precisamos identificar um ponto que esteja no plano e dois vetores que fiquem dentro do plano. Esses vetores serão usados para descrever todas as posições possíveis no plano usando parâmetros.

Passo 4

Vamos encontrar um ponto no plano. Podemos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, se escolhermos x = 0 e y = 0, a equação fica:
3(0) - 2(0) - z - 6 = 0 Rightarrow -z - 6 = 0 Rightarrow z = -6
Então, um ponto no plano é P(0, 0, -6).

Passo 5

Agora, vamos encontrar dois vetores diretores no plano. Para isso, vamos escolher mais dois pontos no plano e calcular a diferença de coordenadas deles com o ponto P que encontramos.
Escolha 1: Se x = 1 e y = 0, então:
3(1) - 2(0) - z - 6 = 0 Rightarrow 3 - z - 6 = 0 Rightarrow z = -3
Portanto, outro ponto é Q(1, 0, -3).
Escolha 2: Se x = 0 e y = 1, então:
3(0) - 2(1) - z - 6 = 0 Rightarrow -2 - z - 6 = 0 Rightarrow z = -8
Assim, temos o ponto R(0, 1, -8).

Passo 6

Os vetores diretores são:
PQ = Q - P = (1 - 0, 0 - 0, -3 - (-6)) = (1, 0, 3)
PR = R - P = (0 - 0, 1 - 0, -8 - (-6)) = (0, 1, -2)
Esses vetores estão no plano e vão nos ajudar a montar as equações paramétricas.

Passo 7

Agora, vamos montar o sistema de equações paramétricas usando o ponto P(0, 0, -6) e os vetores diretores PQ = (1, 0, 3) e PR = (0, 1, -2).
As equações ficam:
x = 0 + 1 cdot s + 0 cdot t = s y = 0 + 0 cdot s + 1 cdot t = t z = -6 + 3 cdot s - 2 cdot t
Onde s e t são parâmetros que indicam as diferentes posições no plano.

Resposta

As equações paramétricas do plano pi são:
x = s y = t z = -6 + 3s - 2t

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