Considere o subconjunto de R^3
U=(x, y, z) in R^3: 2 x+5 y-3 z=0
Responda com justificativa.
(a) U é um subespaço de R^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto U que é formado por todos os pontos (x, y, z) em ℝ³ que satisfazem a equação . A pergunta é: será que esse conjunto U é um subespaço de ℝ³? Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se U cumpre essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto U de um espaço vetorial (como ℝ³) é um subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O ponto (0, 0, 0) está em U.
  2. É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer em U e somar, o resultado também está em U.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor em U e multiplicar por um número qualquer (escala), o resultado também está em U.
Vamos verificar cada uma dessas condições para U.

Passo 3

1. Contém o vetor zero: Vamos ver se o vetor (0, 0, 0) pertence a U. Substituindo na equação:
2(0) + 5(0) - 3(0) = 0
0 = 0
Como a equação é verdadeira, o vetor zero está em U.

Passo 4

2. Fechado sob adição: Suponha que temos dois vetores em U, digamos 2x1 + 5y1 - 3z1 = 0 e 2x2 + 5y2 - 3z2 = 0. Como ambos estão em U, eles satisfazem:
2(x1 + x2) + 5(y1 + y2) - 3(z1 + z2)
= (2x1 + 5y1 - 3z1) + (2x2 + 5y2 - 3z2)
Vamos somar esses dois vetores: = 0 + 0 = 0.
Agora, verificamos se esse vetor também está em U:
Então, também está em U.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar: Vamos pegar um vetor qualquer em U, ku = (kx, ky, kz), que satisfaz 2(kx) + 5(ky) - 3(kz), e um escalar qualquer = k(2x + 5y - 3z). Multiplicando o vetor por k:
= k cdot 0 = 0
Agora, verificamos se está em U:
Então, também está em U.

Resposta

Sim, o conjunto U é um subespaço de ℝ³ porque contém o vetor zero, e é fechado tanto para adição quanto para multiplicação por escalar.

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