Considere o subconjunto de
Responda com justificativa.
(a)
é um subespaço de
?
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto U que é formado por todos os pontos (x, y, z) em ℝ³ que satisfazem a equação
. A pergunta é: será que esse conjunto U é um subespaço de ℝ³? Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se U cumpre essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto U de um espaço vetorial (como ℝ³) é um subespaço se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O ponto (0, 0, 0) está em U.
- É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer em U e somar, o resultado também está em U.
- É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor em U e multiplicar por um número qualquer (escala), o resultado também está em U.
Vamos verificar cada uma dessas condições para U.
Passo 3
1. Contém o vetor zero: Vamos ver se o vetor (0, 0, 0) pertence a U. Substituindo na equação:
Como a equação é verdadeira, o vetor zero está em U.
Passo 4
2. Fechado sob adição: Suponha que temos dois vetores em U, digamos
e
. Como ambos estão em U, eles satisfazem:
Vamos somar esses dois vetores:
.
Agora, verificamos se esse vetor também está em U:
Agora, verificamos se esse vetor também está em U:
Então,
também está em U.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Vamos pegar um vetor qualquer em U,
, que satisfaz
, e um escalar qualquer
. Multiplicando o vetor por k:
Agora, verificamos se
está em U:
Então,
também está em U.
Resposta
Sim, o conjunto U é um subespaço de ℝ³ porque contém o vetor zero, e é fechado tanto para adição quanto para multiplicação por escalar.