Considere o espaço vetorial P3(R) munido do produto interno:
lang<= p, qrang<==p(-1) q(-1)+p(0) q(0)+p(1) q(1)+p(2) q(2), p, q in P3 R
e seja U o subespaço de P3(R) dado por U=[x-1, x-2]. Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt à base x-1, x-2 de U, obtemos a base ortogonal: x-1,-13 x-23

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de um espaço vetorial de polinômios de grau até 3, P3(R), com um produto interno definido por avaliar os polinômios em alguns pontos específicos e somar os resultados. A gente vai precisar usar o método de Gram-Schmidt para transformar uma base qualquer de um subespaço U em uma base ortogonal. No caso, a base inicial é x-1, x-2 e o objetivo é encontrar uma base ortogonal para U usando Gram-Schmidt.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Gram-Schmidt. É um procedimento que pega uma sequência de vetores linearmente independentes e os transforma em uma sequência de vetores ortogonais (ou ortonormais) que geram o mesmo subespaço. No nosso caso, os “vetores” são os polinômios x-1 e x-2.

Passo 3

O método funciona da seguinte maneira:
  1. Primeiro vetor: Mantemos o primeiro vetor da base original como está. No nosso caso, o primeiro polinômio será u1 = x - 1.
  2. Segundo vetor: Subtraímos a projeção do segundo vetor sobre o primeiro vetor para torná-lo ortogonal ao primeiro. A fórmula para isso é:
    u2 = v2 - lang<= v2, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1
    Onde v2 = x - 2.

Passo 4

Vamos calcular os produtos internos usando a definição dada:
lang<= p, q rang<= = p(-1)q(-1) + p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)
Primeiro, calculamos lang<= u1, u1 rang<=:
  • u1(-1) = (-1) - 1 = -2
  • u1(0) = 0 - 1 = -1
  • u1(1) = 1 - 1 = 0
  • u1(2) = 2 - 1 = 1
Então,
lang<= u1, u1 rang<= = (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 4 + 1 + 0 + 1 = 6

Passo 5

Agora, calculamos lang<= v2, u1 rang<= onde v2 = x - 2:
  • v2(-1) = (-1) - 2 = -3
  • v2(0) = 0 - 2 = -2
  • v2(1) = 1 - 2 = -1
  • v2(2) = 2 - 2 = 0
E já sabemos os valores de u1 nos mesmos pontos:
  • u1(-1) = -2
  • u1(0) = -1
  • u1(1) = 0
  • u1(2) = 1
Então,
lang<= v2, u1 rang<= = (-3)(-2) + (-2)(-1) + (-1)(0) + 0(1) = 6 + 2 + 0 + 0 = 8

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar u2:
u2 = v2 - lang<= v2, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1 = (x - 2) - 86(x - 1)
Simplificando:
u2 = x - 2 - 43x + 43 = (1 - 43)x + (-2 + 43) = -13x - 23

Resposta

A base ortogonal de U obtida pelo método de Gram-Schmidt é x-1,; -dfrac13x - dfrac23.

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