Considere o espaço vetorial
munido do produto interno:
e seja
o subespaço de
dado por
. Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt à base
de
, obtemos a base ortogonal:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de um espaço vetorial de polinômios de grau até 3,
, com um produto interno definido por avaliar os polinômios em alguns pontos específicos e somar os resultados. A gente vai precisar usar o método de Gram-Schmidt para transformar uma base qualquer de um subespaço
em uma base ortogonal. No caso, a base inicial é
e o objetivo é encontrar uma base ortogonal para
usando Gram-Schmidt.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Gram-Schmidt. É um procedimento que pega uma sequência de vetores linearmente independentes e os transforma em uma sequência de vetores ortogonais (ou ortonormais) que geram o mesmo subespaço. No nosso caso, os “vetores” são os polinômios
e
.
Passo 3
O método funciona da seguinte maneira:
-
Primeiro vetor: Mantemos o primeiro vetor da base original como está. No nosso caso, o primeiro polinômio será
. -
Segundo vetor: Subtraímos a projeção do segundo vetor sobre o primeiro vetor para torná-lo ortogonal ao primeiro. A fórmula para isso é:Onde
.
Passo 4
Vamos calcular os produtos internos usando a definição dada:
Primeiro, calculamos
:
Então,
Passo 5
Agora, calculamos
onde
:
E já sabemos os valores de
nos mesmos pontos:
Então,
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar
:
Simplificando:
Resposta
A base ortogonal de
obtida pelo método de Gram-Schmidt é
.
Exercícios relacionados
Considere os planos
e
.
(iii) Ache uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto
e é perpendicular a
.
(iii) Ache uma equação vetorial da reta
Mostre que o conjunto de todas as matrizes reais de ordem
, que denotamos por
, com a operação de adição de elementos,
e
, definida por:
e a operação de multiplicação por escalar definida por:
, é um espaço vetorial real.
Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.
Mostre que o conjunto
é linearmente independente no espaço vetorial
.