Considere o espaço vetorial munido do produto interno:
e seja o subespaço de dado por . Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt à base de , obtemos a base ortogonal:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de um espaço vetorial de polinômios de grau até 3, , com um produto interno definido por avaliar os polinômios em alguns pontos específicos e somar os resultados. A gente vai precisar usar o método de Gram-Schmidt para transformar uma base qualquer de um subespaço em uma base ortogonal. No caso, a base inicial é e o objetivo é encontrar uma base ortogonal para usando Gram-Schmidt.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Gram-Schmidt. É um procedimento que pega uma sequência de vetores linearmente independentes e os transforma em uma sequência de vetores ortogonais (ou ortonormais) que geram o mesmo subespaço. No nosso caso, os “vetores” são os polinômios e .

Passo 3

O método funciona da seguinte maneira:
  1. Primeiro vetor: Mantemos o primeiro vetor da base original como está. No nosso caso, o primeiro polinômio será .
  2. Segundo vetor: Subtraímos a projeção do segundo vetor sobre o primeiro vetor para torná-lo ortogonal ao primeiro. A fórmula para isso é:
    Onde .

Passo 4

Vamos calcular os produtos internos usando a definição dada:
Primeiro, calculamos :
Então,

Passo 5

Agora, calculamos onde :
E já sabemos os valores de nos mesmos pontos:
Então,

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar :
Simplificando:

Resposta

A base ortogonal de obtida pelo método de Gram-Schmidt é .

Exercícios relacionados

Considere os planos e .
(iii) Ache uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto e é perpendicular a .
Mostre que o conjunto de todas as matrizes reais de ordem , que denotamos por , com a operação de adição de elementos, e , definida por: e a operação de multiplicação por escalar definida por: , é um espaço vetorial real.
Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.
Mostre que o conjunto é linearmente independente no espaço vetorial .