Considere os planos e .
(iii) Ache uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto e é perpendicular a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! O problema nos dá duas equações de planos:
E nos pede para encontrar uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre planos, retas e perpendicularidade no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a reta . Como não foi dada diretamente, podemos inferir que é a reta de interseção dos planos e . Então, nosso primeiro passo é encontrar a direção dessa reta .
Passo 3
Para encontrar a direção da reta , precisamos calcular o vetor diretor dessa reta. Sabemos que o vetor diretor de uma reta de interseção de dois planos é o produto vetorial dos vetores normais desses planos.
Os vetores normais dos planos são os coeficientes de , e nas equações dos planos. Então:
Vetor normal de :
Vetor normal de :
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 4
Agora que temos o vetor diretor da reta , precisamos encontrar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto e é perpendicular a .
Para duas retas serem perpendiculares, os seus vetores diretores devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles deve ser zero.
Vamos chamar o vetor diretor da reta de . Como deve ser perpendicular a , temos:
Podemos escolher um valor para para definir . Vamos escolher , então . O vetor diretor fica:
Mas precisamos de mais uma condição para determinar . Como a reta é perpendicular a , além de ser perpendicular a , ela também deve estar no espaço que faz essa perpendicularidade. Para simplificação, assumimos (ou qualquer outro valor não nulo), então:
Passo 5
Agora, com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever a equação vetorial da reta :