Considere os planos pi1: 3 x-y+z-4=0 e pi2: x+y-z+2=0.
(iii) Ache uma equação vetorial da reta r que passa pelo ponto P=(1,0,1) e é perpendicular a s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! O problema nos dá duas equações de planos:
pi1: 3x - y + z - 4 = 0
pi2: x + y - z + 2 = 0
E nos pede para encontrar uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre planos, retas e perpendicularidade no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a reta . Como não foi dada diretamente, podemos inferir que é a reta de interseção dos planos e . Então, nosso primeiro passo é encontrar a direção dessa reta .

Passo 3

Para encontrar a direção da reta ds = n1 times n2 = i & j & k 3 & -1 & 1 1 & 1 & -1 , precisamos calcular o vetor diretor dessa reta. Sabemos que o vetor diretor de uma reta de interseção de dois planos é o produto vetorial dos vetores normais desses planos.
Os vetores normais dos planos são os coeficientes de ds = i((-1)(-1) - (1)(1)) - j((3)(-1) - (1)(1)) + k((3)(1) - (-1)(1)) , ds = i(1 - 1) - j(-3 -1) + k(3 +1) e ds = i(0) - j(-4) + k(4) nas equações dos planos. Então:
  • Vetor normal de ds = (0, 4, 4) :
  • Vetor normal de :
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 4

Agora que temos o vetor diretor da reta dr cdot ds = 0 , precisamos encontrar a equação vetorial da reta (0)a + (4)b + (4)c = 0 que passa pelo ponto 4b + 4c = 0 e é perpendicular a b + c = 0 .
Para duas retas serem perpendiculares, os seus vetores diretores devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles deve ser zero.
Vamos chamar o vetor diretor da reta c = -b de dr = (a, 1, -1) . Como dr = (1, 1, -1) deve ser perpendicular a , temos:
Podemos escolher um valor para para definir . Vamos escolher , então . O vetor diretor fica:
Mas precisamos de mais uma condição para determinar . Como a reta é perpendicular a , além de ser perpendicular a , ela também deve estar no espaço que faz essa perpendicularidade. Para simplificação, assumimos (ou qualquer outro valor não nulo), então:

Passo 5

Agora, com o ponto r(t) = P + t cdot dr e o vetor diretor r(t) = (1, 0, 1) + t cdot (1, 1, -1) , podemos escrever a equação vetorial da reta x = 1 + t y = 0 + t z = 1 - t :
Isso pode ser escrito de forma paramétrica como:

Resposta

A equação vetorial da reta r(t) = (1, 0, 1) + t cdot (1, 1, -1), t in R é:

Exercícios relacionados