Considere o espaço vetorial
munido do produto interno:
e seja
o subespaço de
dado por
. Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt à base
de
, obtemos a base ortogonal:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos um espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Nesse espaço, definimos um produto interno específico:
Aqui,
e
são polinômios em
. Além disso, temos um subespaço
gerado pelos polinômios
e
. O objetivo é aplicar o método de ortogonalização de Gram-Schmidt nessa base
para obter uma base ortogonal para
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base ortogonal. Em termos simples, uma base é um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) que geram todo o espaço. Se essa base for ortogonal, significa que cada par de vetores na base é perpendicular em relação ao nosso produto interno definido.
O método de Gram-Schmidt é uma técnica para transformar uma base qualquer em uma base ortogonal. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Começamos com a base original
.
Primeiro, definimos o primeiro vetor da nova base ortogonal simplesmente igual ao primeiro vetor da base original:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o segundo vetor
. Para isso, precisamos remover de
a componente que está na direção de
. Isso é feito projetando
em
e subtraindo essa projeção de
.
A fórmula da projeção de
em
é:
Então, o segundo vetor ortogonal
será:
Passo 5
Vamos calcular os produtos internos necessários.
Primeiro, calculamos
:
Calculando cada termo:
Então:
Agora, calculamos
:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 6
Agora que temos os valores dos produtos internos, podemos calcular a projeção:
Então, o segundo vetor ortogonal
é:
Simplificando:
Passo 7
Para finalizar, temos a base ortogonal obtida pelo método de Gram-Schmidt:
No enunciado, a segunda base ortogonal foi dada como
. Notamos que multiplicando
por -2, obtemos exatamente essa expressão:
Como a escala da base ortogonal não altera sua ortogonalidade, ambas as expressões são válidas.
Resposta
A base ortogonal obtida pelo método de Gram-Schmidt é: