Considere o espaço vetorial munido do produto interno:
e seja o subespaço de dado por . Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt à base de , obtemos a base ortogonal:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos um espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Nesse espaço, definimos um produto interno específico:
Aqui, e são polinômios em . Além disso, temos um subespaço gerado pelos polinômios e . O objetivo é aplicar o método de ortogonalização de Gram-Schmidt nessa base para obter uma base ortogonal para .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base ortogonal. Em termos simples, uma base é um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) que geram todo o espaço. Se essa base for ortogonal, significa que cada par de vetores na base é perpendicular em relação ao nosso produto interno definido.
O método de Gram-Schmidt é uma técnica para transformar uma base qualquer em uma base ortogonal. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Começamos com a base original .
Primeiro, definimos o primeiro vetor da nova base ortogonal simplesmente igual ao primeiro vetor da base original:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o segundo vetor . Para isso, precisamos remover de a componente que está na direção de . Isso é feito projetando em e subtraindo essa projeção de .
A fórmula da projeção de em é:
Então, o segundo vetor ortogonal será:
Passo 5
Vamos calcular os produtos internos necessários.
Primeiro, calculamos :
Calculando cada termo:
Então:
Agora, calculamos :
Calculando cada termo:
Então:
Passo 6
Agora que temos os valores dos produtos internos, podemos calcular a projeção:
Então, o segundo vetor ortogonal é:
Simplificando:
Passo 7
Para finalizar, temos a base ortogonal obtida pelo método de Gram-Schmidt:
No enunciado, a segunda base ortogonal foi dada como . Notamos que multiplicando por -2, obtemos exatamente essa expressão:
Como a escala da base ortogonal não altera sua ortogonalidade, ambas as expressões são válidas.
Resposta
A base ortogonal obtida pelo método de Gram-Schmidt é: