Considere o espaço vetorial munido do produto interno:
e seja o subespaço de dado por . Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt à base de , obtemos a base ortogonal:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos um espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Nesse espaço, definimos um produto interno específico:
Aqui, e são polinômios em . Além disso, temos um subespaço gerado pelos polinômios e . O objetivo é aplicar o método de ortogonalização de Gram-Schmidt nessa base para obter uma base ortogonal para .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base ortogonal. Em termos simples, uma base é um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) que geram todo o espaço. Se essa base for ortogonal, significa que cada par de vetores na base é perpendicular em relação ao nosso produto interno definido.
O método de Gram-Schmidt é uma técnica para transformar uma base qualquer em uma base ortogonal. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Começamos com a base original .
Primeiro, definimos o primeiro vetor da nova base ortogonal simplesmente igual ao primeiro vetor da base original:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o segundo vetor . Para isso, precisamos remover de a componente que está na direção de . Isso é feito projetando em e subtraindo essa projeção de .
A fórmula da projeção de em é:
Então, o segundo vetor ortogonal será:

Passo 5

Vamos calcular os produtos internos necessários.
Primeiro, calculamos :
Calculando cada termo:
Então:
Agora, calculamos :
Calculando cada termo:
Então:

Passo 6

Agora que temos os valores dos produtos internos, podemos calcular a projeção:
Então, o segundo vetor ortogonal é:
Simplificando:

Passo 7

Para finalizar, temos a base ortogonal obtida pelo método de Gram-Schmidt:
No enunciado, a segunda base ortogonal foi dada como . Notamos que multiplicando por -2, obtemos exatamente essa expressão:
Como a escala da base ortogonal não altera sua ortogonalidade, ambas as expressões são válidas.

Resposta

A base ortogonal obtida pelo método de Gram-Schmidt é:

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A matriz , descrita abaixo, é inversível? Caso afirmativo, determine sua inversa.
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Construa explicitamente a transformação linear , tal que e
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Verificar se o ponto pertence à reta encontrada no item anterior deste exercício (pode usar qualquer formato da reta).