Considere o espaço vetorial P3(R) munido do produto interno:
lang<= p, qrang<==p(-1) q(-1)+p(0) q(0)+p(1) q(1)+p(2) q(2), p, q in P3 R
e seja U o subespaço de P3(R) dado por U=[x-1, x-2]. Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt à base x-1, x-2 de U, obtemos a base ortogonal: x-1,-23 x-43

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos um espaço vetorial lang<= p, q rang<= = p(-1)q(-1) + p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2) , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Nesse espaço, definimos um produto interno específico:
Aqui, e são polinômios em . Além disso, temos um subespaço gerado pelos polinômios e . O objetivo é aplicar o método de ortogonalização de Gram-Schmidt nessa base para obter uma base ortogonal para .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base ortogonal. Em termos simples, uma base é um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) que geram todo o espaço. Se essa base for ortogonal, significa que cada par de vetores na base é perpendicular em relação ao nosso produto interno definido.
O método de Gram-Schmidt é uma técnica para transformar uma base qualquer em uma base ortogonal. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Começamos com a base original v1 = u1 = x - 1 .
Primeiro, definimos o primeiro vetor da nova base ortogonal simplesmente igual ao primeiro vetor da base original:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o segundo vetor projv1 u2 = lang<= u2, v1 rang<=lang<= v1, v1 rang<= v1 . Para isso, precisamos remover de v2 = u2 - projv1 u2 a componente que está na direção de . Isso é feito projetando em e subtraindo essa projeção de .
A fórmula da projeção de em é:
Então, o segundo vetor ortogonal será:

Passo 5

Vamos calcular os produtos internos necessários.
Primeiro, calculamos u2 = x - 2 v1 = x - 1 lang<= u2, v1 rang<= = u2(-1)v1(-1) + u2(0)v1(0) + u2(1)v1(1) + u2(2)v1(2) :
lang<= u2, v1 rang<= = (-3)(-2) + (-2)(-1) + (-1)(0) + (0)(1) = 6 + 2 + 0 + 0 = 8
Calculando cada termo:
  • v1 = x - 1 lang<= v1, v1 rang<= = v1(-1)^2 + v1(0)^2 + v1(1)^2 + v1(2)^2
  • lang<= v1, v1 rang<= = (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 4 + 1 + 0 + 1 = 6
Então:
Agora, calculamos :
Calculando cada termo:
Então:

Passo 6

Agora que temos os valores dos produtos internos, podemos calcular a projeção:
projv1 u2 = 86 v1 = 43(x - 1) = 43x - 43
Então, o segundo vetor ortogonal v2 = u2 - projv1 u2 = (x - 2) - ( 43x - 43 ) = x - 2 - 43x + 43 é:
v2 = (1 - 43)x + (-2 + 43) = -13x - 23
Simplificando:

Passo 7

Para finalizar, temos a base ortogonal obtida pelo método de Gram-Schmidt:
v1, v2 = x - 1, -13x - 23
No enunciado, a segunda base ortogonal foi dada como -2 ( -13x - 23 ) = 23x + 43 . Notamos que multiplicando por -2, obtemos exatamente essa expressão:
Como a escala da base ortogonal não altera sua ortogonalidade, ambas as expressões são válidas.

Resposta

A base ortogonal obtida pelo método de Gram-Schmidt é:
, x - 1,; -23x - 43 ,

Exercícios relacionados