(g) Determinar as equações vetorial, simétrica e reduzida (para a reduzida considere x a variável independente) da reta determinada pelos pontos A= (3,-1,4) e B=(4,-3,-1)
(psi^prime) Verificar se o ponto P(2, y, 0) pertence à reta encontrada no item anterior deste exercício (pode usar qualquer formato da reta). (0,5)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar diferentes formas da equação de uma reta no espaço tridimensional. Especificamente, vamos determinar as equações vetorial, simétrica e reduzida da reta que passa pelos pontos e . Além disso, vamos verificar se o ponto pertence a essa reta. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e equações de retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, para encontrar as equações da reta, precisamos determinar o vetor diretor da reta, que é a direção da reta e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos pontos AB = B - A = (4 - 3, -3 - (-1), -1 - 4) = (1, -2, -5) e .
O vetor diretor é dado por:

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor x = 3 + t y = -1 - 2t z = 4 - 5t , podemos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial usa um ponto da reta e o vetor diretor para descrever todos os pontos que pertencem à reta.
Usando o ponto , a equação vetorial fica:
onde é um parâmetro real.

Passo 4

Para encontrar a equação simétrica da reta, precisamos expressar t = x - 3 nas três equações da equação vetorial e igualá-las entre si. Assim, eliminamos o parâmetro t = -1 - y2 .
De t = 4 - z5 , temos:
x - 31 = y + 1-2 = 4 - z5
De , temos:
De , temos:
Igualando essas expressões para :
Esta é a equação simétrica da reta.

Passo 5

Para a equação reduzida da reta, consideramos x = 3 + t Rightarrow t = x - 3 como a variável independente. Isso significa que vamos expressar y = -1 - 2t = -1 - 2(x - 3) = -1 - 2x + 6 = -2x + 5 e z = 4 - 5t = 4 - 5(x - 3) = 4 - 5x + 15 = -5x + 19 em termos de y = -2x + 5 e z = -5x + 19 .
Da equação vetorial:
Substituímos nas equações de e :
Então, a equação reduzida da reta é:

Passo 6

Agora, vamos verificar se o ponto y = -2(2) + 5 = -4 + 5 = 1 pertence à reta que encontramos. Para isso, substituímos 0 = -5(2) + 19 Rightarrow 0 = -10 + 19 Rightarrow 0 = 9 e na equação reduzida e resolvemos para .
Usando :
Usando :
Isso não é verdadeiro, já que . Portanto, o ponto não pertence à reta.

Resposta

A reta determinada por x = 3 + t y = -1 - 2t z = 4 - 5t e x - 31 = y + 1-2 = 4 - z5 tem:
  • Equação vetorial:
y = -2x + 5 e z = -5x + 19
  • Equação simétrica:
  • Equação reduzida:
Além disso, o ponto não pertence a essa reta.

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