(g) Determinar as equações vetorial, simétrica e reduzida (para a reduzida considere a variável independente) da reta determinada pelos pontos e
Verificar se o ponto pertence à reta encontrada no item anterior deste exercício (pode usar qualquer formato da reta).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar diferentes formas da equação de uma reta no espaço tridimensional. Especificamente, vamos determinar as equações vetorial, simétrica e reduzida da reta que passa pelos pontos e . Além disso, vamos verificar se o ponto pertence a essa reta. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e equações de retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, para encontrar as equações da reta, precisamos determinar o vetor diretor da reta, que é a direção da reta e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos pontos e .
O vetor diretor é dado por:

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor , podemos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial usa um ponto da reta e o vetor diretor para descrever todos os pontos que pertencem à reta.
Usando o ponto , a equação vetorial fica:
onde é um parâmetro real.

Passo 4

Para encontrar a equação simétrica da reta, precisamos expressar nas três equações da equação vetorial e igualá-las entre si. Assim, eliminamos o parâmetro .
De , temos:
De , temos:
De , temos:
Igualando essas expressões para :
Esta é a equação simétrica da reta.

Passo 5

Para a equação reduzida da reta, consideramos como a variável independente. Isso significa que vamos expressar e em termos de .
Da equação vetorial:
Substituímos nas equações de e :
Então, a equação reduzida da reta é:

Passo 6

Agora, vamos verificar se o ponto pertence à reta que encontramos. Para isso, substituímos e na equação reduzida e resolvemos para .
Usando :
Usando :
Isso não é verdadeiro, já que . Portanto, o ponto não pertence à reta.

Resposta

A reta determinada por e tem:
  • Equação vetorial:
  • Equação simétrica:
  • Equação reduzida:
Além disso, o ponto não pertence a essa reta.

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