Construa explicitamente a transformação linear , tal que e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa construir uma transformação linear que transforma certos vetores de acordo com as condições dadas. Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e transformações lineares. Para isso, vamos precisar entender como representar a transformação linear através de uma matriz e como usar as informações dadas para encontrar os elementos dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz 2x2. Ou seja, , onde é um vetor em .

Passo 3

Vamos chamar a matriz de:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem as condições dadas no problema.

Passo 4

As condições dadas são:
Vamos usar essas equações para montar um sistema que nos ajudará a encontrar e .

Passo 5

Aplicando a primeira condição:
Isso resulta em duas equações:

Passo 6

Aplicando a segunda condição:
Isso também nos dá duas equações:

Passo 7

Agora, vamos resolver essas equações passo a passo.
Da equação (3):
Da equação (4):

Passo 8

Substituindo na equação (1):
Substituindo na equação (2):

Passo 9

Agora que temos todos os valores:
Então, a matriz que representa a transformação linear é:

Resposta

A transformação linear é dada pela matriz:

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Considere o espaço vetorial munido do produto interno:
e seja o subespaço de dado por . Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt à base de , obtemos a base ortogonal:
A matriz , descrita abaixo, é inversível? Caso afirmativo, determine sua inversa.
(g) Determinar as equações vetorial, simétrica e reduzida (para a reduzida considere a variável independente) da reta determinada pelos pontos e
Verificar se o ponto pertence à reta encontrada no item anterior deste exercício (pode usar qualquer formato da reta).
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