Construa explicitamente a transformação linear
, tal que
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa construir uma transformação linear
que transforma certos vetores de acordo com as condições dadas. Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e transformações lineares. Para isso, vamos precisar entender como representar a transformação linear através de uma matriz e como usar as informações dadas para encontrar os elementos dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear
pode ser representada por uma matriz
2x2. Ou seja,
, onde
é um vetor em
.
Passo 3
Vamos chamar a matriz
de:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que satisfazem as condições dadas no problema.
Passo 4
As condições dadas são:
Vamos usar essas equações para montar um sistema que nos ajudará a encontrar
e
.
Passo 5
Aplicando a primeira condição:
Isso resulta em duas equações:
Passo 6
Aplicando a segunda condição:
Isso também nos dá duas equações:
Passo 7
Agora, vamos resolver essas equações passo a passo.
Da equação (3):
Da equação (4):
Passo 8
Substituindo
na equação (1):
Substituindo
na equação (2):
Passo 9
Agora que temos todos os valores:
Então, a matriz
que representa a transformação linear
é:
Resposta
A transformação linear
é dada pela matriz: