Construa explicitamente a transformação linear , tal que e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa construir uma transformação linear que transforma certos vetores de acordo com as condições dadas. Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e transformações lineares. Para isso, vamos precisar entender como representar a transformação linear através de uma matriz e como usar as informações dadas para encontrar os elementos dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz 2x2. Ou seja, , onde é um vetor em .
Passo 3
Vamos chamar a matriz de:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem as condições dadas no problema.
Passo 4
As condições dadas são:
Vamos usar essas equações para montar um sistema que nos ajudará a encontrar e .
Passo 5
Aplicando a primeira condição:
Isso resulta em duas equações:
Passo 6
Aplicando a segunda condição:
Isso também nos dá duas equações:
Passo 7
Agora, vamos resolver essas equações passo a passo.
Da equação (3):
Da equação (4):
Passo 8
Substituindo na equação (1):
Substituindo na equação (2):
Passo 9
Agora que temos todos os valores:
Então, a matriz que representa a transformação linear é: