Construa explicitamente a transformação linear T: R^2 R^2, tal que T(2,3)=(-1,5) e T(0,1)=(2,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa construir uma transformação linear que transforma certos vetores de acordo com as condições dadas. Aqui, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e transformações lineares. Para isso, vamos precisar entender como representar a transformação linear através de uma matriz e como usar as informações dadas para encontrar os elementos dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz 2x2. Ou seja, , onde é um vetor em .

Passo 3

Vamos chamar a matriz A = a & b c & d de:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem as condições dadas no problema.

Passo 4

As condições dadas são:
Vamos usar essas equações para montar um sistema que nos ajudará a encontrar e .

Passo 5

Aplicando a primeira condição:
A 2 3 = -1 5
Isso resulta em duas equações:
2a + 3b = -1 (1)
2c + 3d = 5 (2)

Passo 6

Aplicando a segunda condição:
A 0 1 = 2 1
Isso também nos dá duas equações:
0a + 1b = 2 (3)
0c + 1d = 1 (4)

Passo 7

Agora, vamos resolver essas equações passo a passo.
Da equação (3):
b = 2
Da equação (4):
d = 1

Passo 8

Substituindo 2a + 3(2) = -1 2a + 6 = -1 2a = -7 a = -72 na equação (1):
2c + 3(1) = 5 2c + 3 = 5 2c = 2 c = 1
Substituindo na equação (2):

Passo 9

Agora que temos todos os valores:
a = -72, b = 2, c = 1, d = 1
Então, a matriz A = -72 & 2 1 & 1 que representa a transformação linear é:

Resposta

A transformação linear T(x) = -72 & 2 1 & 1 x é dada pela matriz:

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