A matriz A, descrita abaixo, é inversível? Caso afirmativo, determine sua inversa.
A=(lll 1 & 2 & 3 2 & 0 & 4 1 & 3 & 5 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a matriz é inversível. Se for, também precisamos encontrar a inversa dela. Para isso, vamos usar conceitos de determinante e matriz inversa. Primeiro, precisamos calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível e podemos prosseguir para achar a inversa.

Passo 2

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . Para uma matriz 3x3, o determinante é dado por:
det(A) = 1(0 cdot 5 - 4 cdot 3) - 2(2 cdot 5 - 4 cdot 1) + 3(2 cdot 3 - 0 cdot 1)
Substituindo os valores de det(A) = 1(0 - 12) - 2(10 - 4) + 3(6 - 0) = -12 - 12 + 18 = -6 :
Fazendo as contas:

Passo 3

Como o determinante de é (diferente de zero), isso significa que a matriz é inversível. Agora, vamos encontrar a inversa de .

Passo 4

Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz de cofatores de .

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a matriz de cofatores de ccc C11 = det 0 & 4 3 & 5 = (0 cdot 5 - 4 cdot 3) = -12 & C12 = -det 2 & 4 1 & 5 = -(10 - 4) = -6 & C13 = det 2 & 0 1 & 3 = 6 C21 = -det 2 & 3 3 & 5 = -(10 - 9) = -1 & C22 = det 1 & 3 1 & 5 = 2 & C23 = -det 1 & 2 1 & 3 = -1 C31 = det 2 & 3 0 & 4 = 8 & C32 = -det 1 & 3 2 & 4 = 2 & C33 = det 1 & 2 2 & 0 = -4 . Cada elemento dessa matriz é o cofator correspondente da matriz original -12 & -6 & 6 -1 & 2 & -1 8 & 2 & -4 .
Calculando os cofatores:
Então, a matriz de cofatores é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a adjunta de adj(A) = -12 & -1 & 8 -6 & 2 & 2 6 & -1 & -4 , que é a transposta da matriz de cofatores:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 1-6 cdot -12 & -1 & 8 -6 & 2 & 2 6 & -1 & -4 = 2 & 16 & -43 1 & -13 & -13 -1 & 16 & 23

Resposta

A matriz A^-1 = 2 & dfrac16 & -dfrac43 1 & -dfrac13 & -dfrac13 -1 & dfrac16 & dfrac23 é inversível e sua inversa é:

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