A matriz , descrita abaixo, é inversível? Caso afirmativo, determine sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a matriz é inversível. Se for, também precisamos encontrar a inversa dela. Para isso, vamos usar conceitos de determinante e matriz inversa. Primeiro, precisamos calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível e podemos prosseguir para achar a inversa.

Passo 2

Vamos calcular o determinante da matriz . Para uma matriz 3x3, o determinante é dado por:
Substituindo os valores de :
Fazendo as contas:

Passo 3

Como o determinante de é (diferente de zero), isso significa que a matriz é inversível. Agora, vamos encontrar a inversa de .

Passo 4

Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos a fórmula:
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz de cofatores de .

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a matriz de cofatores de . Cada elemento dessa matriz é o cofator correspondente da matriz original .
Calculando os cofatores:
Então, a matriz de cofatores é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a adjunta de , que é a transposta da matriz de cofatores:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:

Resposta

A matriz é inversível e sua inversa é:

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e seja o subespaço de dado por . Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt à base de , obtemos a base ortogonal:
Construa explicitamente a transformação linear , tal que e