A matriz , descrita abaixo, é inversível? Caso afirmativo, determine sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a matriz é inversível. Se for, também precisamos encontrar a inversa dela. Para isso, vamos usar conceitos de determinante e matriz inversa. Primeiro, precisamos calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível e podemos prosseguir para achar a inversa.
Passo 2
Vamos calcular o determinante da matriz . Para uma matriz 3x3, o determinante é dado por:
Substituindo os valores de :
Fazendo as contas:
Passo 3
Como o determinante de é (diferente de zero), isso significa que a matriz é inversível. Agora, vamos encontrar a inversa de .
Passo 4
Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos a fórmula:
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz de cofatores de .
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar a matriz de cofatores de . Cada elemento dessa matriz é o cofator correspondente da matriz original .
Calculando os cofatores:
Então, a matriz de cofatores é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a adjunta de , que é a transposta da matriz de cofatores: