Considere o espaço vetorial P2 dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Sejam u=x^2-2 x+1, v=x+2, w=2 x^2-x e p=5 x^2-5 x+7 vetores em P2 Escreva o vetor p como combinação linear de u, v e w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que pede para escrever um polinômio p = a cdot u + b cdot v + c cdot w como uma combinação linear de outros três polinômios , e . Basicamente, precisamos encontrar coeficientes , e tais que:
Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar esses polinômios e igualar os coeficientes de , e os termos constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear dos polinômios a cdot u + b cdot v + c cdot w = a(x^2 - 2x + 1) + b(x + 2) + c(2x^2 - x) , = a x^2 - 2a x + a + b x + 2b + 2c x^2 - c x e = (a + 2c) x^2 + (-2a + b - c) x + (a + 2b) :
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 3

Agora, queremos que essa expressão seja igual a a + 2c = 5 (coeficiente de x^2) -2a + b - c = -5 (coeficiente de x) a + 2b = 7 (termo constante) . Para isso, igualamos os coeficientes dos mesmos termos:
Esse é um sistema de três equações com três incógnitas que vamos resolver para encontrar , e .

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, da terceira equação:
a + 2b = 7 Rightarrow a = 7 - 2b
Agora, substituímos 1 (7 - 2b) + 2c = 5 Rightarrow -2b + 2c = -2 Rightarrow -b + c = -1 Rightarrow c = b - 1 nas outras duas equações:
2 -2(7 - 2b) + b - c = -5 Rightarrow -14 + 4b + b - c = -5 Rightarrow 5b - c = 9
5b - (b - 1) = 9 Rightarrow 5b - b + 1 = 9 Rightarrow 4b = 8 Rightarrow b = 2
Substituindo na segunda equação:

Passo 5

Agora que temos a = 7 - 2b = 7 - 4 = 3 , podemos encontrar c = b - 1 = 2 - 1 = 1 e :
Então, os coeficientes são , e .

Resposta

Portanto, o polinômio p = 3u + 2v + 1w pode ser escrito como combinação linear de 5x^2 - 5x + 7 = 3(x^2 - 2x + 1) + 2(x + 2) + 1(2x^2 - x) , e da seguinte forma:
Ou, de maneira mais explícita:

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