Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Sejam , e vetores em Escreva o vetor como combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que pede para escrever um polinômio como uma combinação linear de outros três polinômios , e . Basicamente, precisamos encontrar coeficientes , e tais que:
Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar esses polinômios e igualar os coeficientes de , e os termos constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a combinação linear dos polinômios , e :
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, queremos que essa expressão seja igual a . Para isso, igualamos os coeficientes dos mesmos termos:
Esse é um sistema de três equações com três incógnitas que vamos resolver para encontrar , e .
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, da terceira equação:
a + 2b = 7 Rightarrow a = 7 - 2b
Agora, substituímos 1 (7 - 2b) + 2c = 5 Rightarrow -2b + 2c = -2 Rightarrow -b + c = -1 Rightarrow c = b - 1 nas outras duas equações:
2 -2(7 - 2b) + b - c = -5 Rightarrow -14 + 4b + b - c = -5 Rightarrow 5b - c = 9
Agora que temos a = 7 - 2b = 7 - 4 = 3 , podemos encontrar c = b - 1 = 2 - 1 = 1 e :
Então, os coeficientes são , e .
Resposta
Portanto, o polinômio p = 3u + 2v + 1w pode ser escrito como combinação linear de 5x^2 - 5x + 7 = 3(x^2 - 2x + 1) + 2(x + 2) + 1(2x^2 - x) , e da seguinte forma: