Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Sejam , e vetores em Escreva o vetor como combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que pede para escrever um polinômio como uma combinação linear de outros três polinômios , e . Basicamente, precisamos encontrar coeficientes , e tais que:
Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar esses polinômios e igualar os coeficientes de , e os termos constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a combinação linear dos polinômios , e :
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, queremos que essa expressão seja igual a . Para isso, igualamos os coeficientes dos mesmos termos:
Esse é um sistema de três equações com três incógnitas que vamos resolver para encontrar , e .
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, da terceira equação:
Agora, substituímos nas outras duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Passo 5
Agora que temos , podemos encontrar e :
Então, os coeficientes são , e .
Resposta
Portanto, o polinômio pode ser escrito como combinação linear de , e da seguinte forma: