Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Sejam , e vetores em Escreva o vetor como combinação linear de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que pede para escrever um polinômio como uma combinação linear de outros três polinômios , e . Basicamente, precisamos encontrar coeficientes , e tais que:
Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar esses polinômios e igualar os coeficientes de , e os termos constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear dos polinômios , e :
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 3

Agora, queremos que essa expressão seja igual a . Para isso, igualamos os coeficientes dos mesmos termos:
Esse é um sistema de três equações com três incógnitas que vamos resolver para encontrar , e .

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, da terceira equação:
Agora, substituímos nas outras duas equações:
Substituindo na segunda equação:

Passo 5

Agora que temos , podemos encontrar e :
Então, os coeficientes são , e .

Resposta

Portanto, o polinômio pode ser escrito como combinação linear de , e da seguinte forma:
Ou, de maneira mais explícita:

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Sejam bases ordenadas de . Determine:
(a)
Considere os pontos e de modo que definimos o triângulo . Justifique o seguinte fato:
pts]
Fato: A direção do vetor é a direção da bissetriz do ângulo
Resolva o sistema, usando a regra de Cramer:
Considere os vetores e . Calcule: