Resolva o sistema, usando a regra de Cramer:
r x-2 y+z=1 2 x+2 y=3 y-5 z=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. A gente tem três equações com três incógnitas ( x, y, z). Para aplicar a regra, vamos precisar calcular determinantes de matrizes, então vamos lá entender como montar essas matrizes primeiro.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema, que vem só com os números que estão na frente das incógnitas:
A = 1 & -2 & 1 2 & 2 & 0 0 & 1 & -5

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A ( det(A)). O determinante é uma fórmula que nos ajuda a resolver o sistema:
det(A) = 1 times (2 times (-5) - 0 times 1) - (-2) times (2 times (-5) - 0 times 0) + 1 times (2 times 1 - 2 times 0)
det(A) = 1 times (-10) - (-2) times (-10) + 1 times 2 = -10 - 20 + 2 = -28

Passo 4

Agora vamos encontrar det(Ax), que é a matriz A com a coluna de x substituída pelos termos constantes (1, 3, 4):
Ax = 1 & -2 & 1 3 & 2 & 0 4 & 1 & -5
Calculando det(Ax):
det(Ax) = 1 times (2 times (-5) - 0 times 1) - (-2) times (3 times (-5) - 0 times 4) + 1 times (3 times 1 - 2 times 4)
det(Ax) = 1 times (-10) - (-2) times (-15) + 1 times (3 - 8) = -10 - 30 -5 = -45

Passo 5

Vamos agora achar det(Ay), que é a matriz A com a coluna de y substituída pelos termos constantes:
Ay = 1 & 1 & 1 2 & 3 & 0 0 & 4 & -5
Calculando det(Ay):
det(Ay) = 1 times (3 times (-5) - 0 times 4) - 1 times (2 times (-5) - 0 times 0) + 1 times (2 times 4 - 3 times 0)
det(Ay) = 1 times (-15) - 1 times (-10) + 1 times 8 = -15 +10 +8 = 3

Passo 6

Por fim, vamos calcular det(Az), que é a matriz A com a coluna de z substituída pelos termos constantes:
Az = 1 & -2 & 1 2 & 2 & 3 0 & 1 & 4
Calculando det(Az):
det(Az) = 1 times (2 times 4 - 3 times 1) - (-2) times (2 times 4 - 3 times 0) + 1 times (2 times 1 - 2 times 0)
det(Az) = 1 times (8 -3) - (-2) times 8 + 1 times 2 = 5 +16 +2 =23

Resposta

Agora, aplicando a Regra de Cramer:
x = det(Ax)det(A) = -45-28 = 4528
y = det(Ay)det(A) = 3-28 = -328
z = det(Az)det(A) = 23-28 = -2328
Então, a solução do sistema é:
x = 4528, y = -328, z = -2328

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