Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Sejam , e vetores em É possível escrever o vetor como combinação linear de e ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2. Temos quatro polinômios dados: , , e . A pergunta é: conseguimos escrever o polinômio como uma combinação linear de e ? Pra isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Dizemos que é uma combinação linear de e se existir constantes e tal que:
Ou seja:
Passo 3
Vamos expandir a expressão do lado direito:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Para que as duas expressões sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Já sabemos que . Substituindo na segunda equação:
Passo 6
Agora, vamos verificar na terceira equação para confirmar nossos valores:
Isso mostra que não há valores de e que satisfaçam todas as equações simultaneamente.
Resposta
Não, o polinômio não pode ser escrito como uma combinação linear de e porque não existem valores de e que satisfazem todas as equações necessárias.