Considere o espaço vetorial P2 dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Sejam u=x^2-2 x+1, v=x+2, w=2 x^2-x e p=5 x^2-5 x+7 vetores em P2 É possível escrever o vetor p como combinação linear de u e v ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre espaço vetorial P2, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2. Temos quatro polinômios dados: u = x^2 - 2x + 1, v = x + 2, w = 2x^2 - x e p = 5x^2 - 5x + 7. A pergunta é: conseguimos escrever o polinômio p como uma combinação linear de u e v? Pra isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Dizemos que p é uma combinação linear de u e v se existir constantes a e b tal que:
p = a cdot u + b cdot v
Ou seja:
5x^2 - 5x + 7 = a(x^2 - 2x + 1) + b(x + 2)

Passo 3

Vamos expandir a expressão do lado direito:
a(x^2 - 2x + 1) + b(x + 2) = a x^2 - 2a x + a + b x + 2b
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a)x^2 + (-2a + b)x + (a + 2b)

Passo 4

Para que as duas expressões sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
a = 5 &(coeficiente de x^2) -2a + b = -5 &(coeficiente de x) a + 2b = 7 &(termo constante)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Já sabemos que a = 5. Substituindo na segunda equação:
-2(5) + b = -5 -10 + b = -5 b = -5 + 10 b = 5

Passo 6

Agora, vamos verificar na terceira equação para confirmar nossos valores:
Isso mostra que não há valores de 5 + 2(5) = 5 + 10 = 15 Mas queremos que seja igual a 7, então temos 15 neq 7 e a que satisfaçam todas as equações simultaneamente.

Resposta

Não, o polinômio p não pode ser escrito como uma combinação linear de u e v porque não existem valores de a e b que satisfazem todas as equações necessárias.

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