Seja o espaço vetorial das matrizes simétricas de ordem 2 com entradas reais. Sejam
duas bases ordenadas de .
© Encontre tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre espaços vetoriais, especificamente o espaço das matrizes simétricas 2x2 com números reais. Temos duas bases, α e β, desse espaço. A gente precisa encontrar um vetor tal que, quando aplicamos a matriz de mudança de base de α para β ( ) no vetor , o resultado seja o vetor . Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e resolver um sistema linear.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as bases α e β:
Cada base tem três matrizes, já que o espaço das matrizes simétricas 2x2 é tridimensional.

Passo 3

A matriz de mudança de base transforma coordenadas de α para β. Para encontrar essa matriz, precisamos expressar cada vetor de β em termos de α.
Vamos chamar as matrizes de α de e as de β de .

Passo 4

Vamos expressar cada como combinação linear dos :
Isso nos dá as colunas da matriz :

Passo 5

Agora, queremos resolver a equação:
Isso significa que:

[

\cdot


]

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:

Passo 7

Da terceira equação, já sabemos que .
Substituindo na segunda equação:
Agora, com , substituímos na primeira equação:

Resposta

O vetor é:

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Considere os vetores e . Calcule:
o ângulo formado por .
Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Sejam , e vetores em É possível escrever o vetor como combinação linear de e ? Justifique sua resposta.
Sejam e bases ordenadas de .
(b) Se , encontre .
Dados os pontos e , determine as componentes de cada um dos vetores abaixo:
.