Seja V=S2 o espaço vetorial das matrizes simétricas de ordem 2 com entradas reais. Sejam
alpha=[ll 1 & 0 0 & 0 ],[ll 0 & 1 1 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 ] e beta=[ll 1 & 0 0 & 0 ],[cc 1 & -1 -1 & 0 ],[ll 0 & 1 1 & 1 ]
duas bases ordenadas de V.
© Encontre v tal que [I]alpha^beta cdot[v]beta=[c-1 1 0].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre espaços vetoriais, especificamente o espaço das matrizes simétricas 2x2 com números reais. Temos duas bases, α e β, desse espaço. A gente precisa encontrar um vetor -1 1 0 tal que, quando aplicamos a matriz de mudança de base de α para β ( ) no vetor , o resultado seja o vetor . Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e resolver um sistema linear.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as bases α e β:
alpha = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1
beta = 1 & 0 0 & 0 , 1 & -1 -1 & 0 , 0 & 1 1 & 1
Cada base tem três matrizes, já que o espaço das matrizes simétricas 2x2 é tridimensional.

Passo 3

A matriz de mudança de base transforma coordenadas de α para β. Para encontrar essa matriz, precisamos expressar cada vetor de β em termos de α.
Vamos chamar as matrizes de α de e as de β de .

Passo 4

Vamos expressar cada [I]alpha^beta = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 0 & 0 & 1 como combinação linear dos :
Isso nos dá as colunas da matriz :

Passo 5

Agora, queremos resolver a equação:
[I]alpha^beta cdot [v]beta = -1 1 0
Isso significa que:

[
1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 0 & 0 & 1 cdot v1 v2 v3 = -1 1 0
\cdot


]

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:

Passo 7

Da terceira equação, já sabemos que -v2 + 0 = 1 Rightarrow v2 = -1 .
Substituindo v1 + (-1) = -1 Rightarrow v1 = 0 na segunda equação:
Agora, com , substituímos na primeira equação:

Resposta

O vetor v = 0 -1 0 é:

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