Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre espaços vetoriais, especificamente o espaço das matrizes simétricas 2x2 com números reais. Temos duas bases, α e β, desse espaço. A gente precisa encontrar um vetor -1 1 0 tal que, quando aplicamos a matriz de mudança de base de α para β () no vetor , o resultado seja o vetor . Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e resolver um sistema linear.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as bases α e β:
alpha = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1
beta = 1 & 0 0 & 0 , 1 & -1 -1 & 0 , 0 & 1 1 & 1
Cada base tem três matrizes, já que o espaço das matrizes simétricas 2x2 é tridimensional.
Passo 3
A matriz de mudança de base transforma coordenadas de α para β. Para encontrar essa matriz, precisamos expressar cada vetor de β em termos de α.
Vamos chamar as matrizes de α de e as de β de .
Passo 4
Vamos expressar cada [I]alpha^beta = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 0 & 0 & 1 como combinação linear dos :