Considere os vetores u=(1,1,4), v=(-1,2,2) e w=(-1,0,2). Calcule:
o ângulo theta formado por u e v.

Passo 1

Então, o enunciado nos dá dois vetores: u = (1, 1, 4) e v = (-1, 2, 2). A gente precisa descobrir o ângulo theta que esses dois vetores formam. Para resolver isso, vamos usar o produto escalar e as propriedades dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre u e v. O produto escalar é uma forma de multiplicar dois vetores e é definido por:
u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
Substituindo os valores dos vetores:
u cdot v = (1)(-1) + (1)(2) + (4)(2) = -1 + 2 + 8 = 9

Passo 3

Agora, precisamos calcular o comprimento (ou magnitude) de cada vetor. A magnitude de um vetor a = (a1, a2, a3) é dada por:
||a|| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Vamos calcular para u:
||u|| = raiz1^2 + 1^2 + 4^2 = raiz1 + 1 + 16 = raiz18 = 3raiz2
E para v:
||v|| = raiz(-1)^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes dos vetores, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo entre eles:
cos theta = u cdot v||u|| , ||v||
Substituindo os valores que encontramos:
cos theta = 93raiz2 times 3 = 99raiz2 = 1raiz2

Passo 5

Para achar o ângulo theta, vamos tirar o arco cosseno de 1raiz2:
theta = cos^-1(1raiz2) = 45^circ

Resposta

O ângulo theta formado por u e v é 45^circ.

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