Considere o espaço vetorial . (a) Mostre que é uma base de .

Passo 1

Então, a gente tem o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. A questão pede para a gente mostrar que o conjunto é uma base desse espaço. Para isso, vamos precisar entender o que é base, que envolve verificar se os vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições: os vetores devem ser linearmente independentes e devem gerar todo o espaço vetorial.

Passo 3

Vamos começar verificando se os vetores de são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Para verificar isso, a gente pode escrever uma combinação linear igual a zero:

Passo 4

Vamos expandir os termos para simplificar:

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 6

Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema: Da última equação: Substituindo na terceira equação: Substituindo e na segunda equação: Finalmente, substituindo , e na primeira equação:

Passo 8

Como a única solução para o sistema é , isso significa que os vetores de são linearmente independentes.

Passo 9

Agora, vamos verificar se os vetores de geram todo o espaço . Como tem dimensão 4 e já mostramos que temos 4 vetores linearmente independentes, isso implica que eles geram todo o espaço.

Resposta

Portanto, o conjunto é uma base de .

Exercícios relacionados

Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série:
Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série: