Considere o espaço vetorial .
(a) Mostre que é uma base de .
Passo 1
Então, a gente tem o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. A questão pede para a gente mostrar que o conjunto é uma base desse espaço. Para isso, vamos precisar entender o que é base, que envolve verificar se os vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições: os vetores devem ser linearmente independentes e devem gerar todo o espaço vetorial.
Passo 3
Vamos começar verificando se os vetores de são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Para verificar isso, a gente pode escrever uma combinação linear igual a zero:
Passo 4
Vamos expandir os termos para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da última equação:
Substituindo na terceira equação:
Substituindo e na segunda equação:
Finalmente, substituindo , e na primeira equação:
Passo 8
Como a única solução para o sistema é , isso significa que os vetores de são linearmente independentes.
Passo 9
Agora, vamos verificar se os vetores de geram todo o espaço . Como tem dimensão 4 e já mostramos que temos 4 vetores linearmente independentes, isso implica que eles geram todo o espaço.