Considere o espaço vetorial P3(R).
(a) Mostre que B=1,1-t,(1-t)^2,(1-t)^3 é uma base de P3(R).

Passo 1

Então, a gente tem o espaço vetorial P3(R), que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. A questão pede para a gente mostrar que o conjunto B = 1, 1-t, (1-t)^2, (1-t)^3 é uma base desse espaço. Para isso, vamos precisar entender o que é base, que envolve verificar se os vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições: os vetores devem ser linearmente independentes e devem gerar todo o espaço vetorial.

Passo 3

Vamos começar verificando se os vetores de B são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Para verificar isso, a gente pode escrever uma combinação linear igual a zero:
a cdot 1 + b cdot (1 - t) + c cdot (1 - t)^2 + d cdot (1 - t)^3 = 0

Passo 4

Vamos expandir os termos para simplificar:
a + b(1 - t) + c(1 - 2t + t^2) + d(1 - 3t + 3t^2 - t^3) &= 0 a + b - b t + c - 2c t + c t^2 + d - 3d t + 3d t^2 - d t^3 &= 0

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + b + c + d) + (-b - 2c - 3d) t + (c + 3d) t^2 - d t^3 &= 0

Passo 6

Para que essa igualdade valha para todo t, os coeficientes de cada potência de t devem ser iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
a + b + c + d = 0 -b - 2c - 3d = 0 c + 3d = 0 -d = 0

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da última equação: -d = 0 Rightarrow d = 0
Substituindo d = 0 na terceira equação: c + 3(0) = 0 Rightarrow c = 0
Substituindo c = 0 e d = 0 na segunda equação: -b - 2(0) - 3(0) = 0 Rightarrow -b = 0 Rightarrow b = 0
Finalmente, substituindo b = 0, c = 0 e d = 0 na primeira equação: a + 0 + 0 + 0 = 0 Rightarrow a = 0

Passo 8

Como a única solução para o sistema é a = b = c = d = 0, isso significa que os vetores de B são linearmente independentes.

Passo 9

Agora, vamos verificar se os vetores de B geram todo o espaço P3(R). Como P3(R) tem dimensão 4 e já mostramos que temos 4 vetores linearmente independentes, isso implica que eles geram todo o espaço.

Resposta

Portanto, o conjunto B = 1, 1-t, (1-t)^2, (1-t)^3 é uma base de P3(R).

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